数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

有向な部分対象の族と AB5

補題 6.5（「射影対象・入射対象と Grothendieck 圏」§6） ・ ✓公理まで証明済み

A\mathcal A を AB5 を満たすアーベル圏、EE をその対象、JJ を空でない有向集合とする。EE の部分対象の族 (jk ⁣:Kk→E)k∈J(j_k\colon K_k \to E)_{k \in J} が有向である（k≤k′k \le k' なら jk=jk′tkk′j_k = j_{k'}t_{kk'}）とする。tkk′t_{kk'} は一意なので K ⁣:J→AK\colon J \to \mathcal A は関手になる。

  1. ιk ⁣:Kk→colim⁡K\iota_k\colon K_k \to \operatorname{colim} K を余極限とし、cιk=jkc\iota_k = j_k で定まる c ⁣:colim⁡K→Ec\colon \operatorname{colim}K \to E は mono である。cc の表す部分対象を ∑kKk\sum_k K_k と書くと、これは各 KkK_k を含む部分対象のうち最小のものである。
  2. 任意の射 h ⁣:H→Eh\colon H \to E について、Lk=ker⁡(πKkh)L_k = \ker(\pi_{K_k}h) は HH の部分対象の有向な族で、∑kLk=ker⁡(π∑Kh)\sum_k L_k = \ker(\pi_{\sum K}h) である。とくに、(a) すべての kk で πKkh\pi_{K_k}h が mono なら π∑Kh\pi_{\sum K}h も mono であり、(b) ∑kKk=E\sum_k K_k = E なら ∑kLk=H\sum_k L_k = H である。
  3. A\mathcal A は AB4 を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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