余積から余極限へ

アーベル圏 $\mathcal A$ が任意の小さい族の余積をもつとする。

1. $\mathcal A$ は小さい余極限をすべてもつ（余完備）。
2. $I$ を小さい圏とし、各 $F \in [I, \mathcal A]$ に余極限 $(\operatorname{colim} F, \iota^F_i)$ を一つずつ選ぶ。自然変換 $\alpha\colon F \to F'$ に対し、$\operatorname{colim}\alpha \circ \iota^F_i = \iota^{F'}_i \alpha_i$（すべての $i$）を満たす射 $\operatorname{colim}\alpha$ がただ一つ存在し、$\operatorname{colim}\colon [I, \mathcal A] \to \mathcal A$ は加法関手になる。
3. 空でない有向集合 $J$（任意の 2 元が上界をもつ半順序集合）を圏とみなすと、$J$ はフィルター圏（定義 6.1［極限と余極限］）である。$J$ 上の定値図式 $\Delta X$（値がすべて $X$、射がすべて $1_X$）の余極限は、$X$ と恒等射の族である。