比較定理（G 加群）

補題 2.5（「群のコホモロジーと群の拡大」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\cdots \to P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} A \to 0$ を、各 $P_n$ が $\mathsf{Mod}_G$ の射影対象である $G$ 加群の複体とし、 $\cdots \to Q_1 \xrightarrow{d_1} Q_0 \xrightarrow{\eta} B \to 0$ を $G$ 加群の完全列とする。 $G$ 準同型 $f\colon A \to B$ に対し、次が成り立つ。

$\eta f_0 = f \varepsilon$ 、 $d_n f_n = f_{n-1} d_n$ （ $n \ge 1$ ）を満たす $G$ 準同型 $f_n\colon P_n \to Q_n$ が存在する（ $f$ の持ち上げ）。
$(f_n)$ と $(f'_n)$ がともに $f$ の持ち上げなら、 $G$ 準同型 $h_n\colon P_n \to Q_{n+1}$ （ $n \ge 0$ ）で $f_0 - f'_0 = d_1 h_0, \qquad f_n - f'_n = d_{n+1} h_n + h_{n-1} d_n \quad (n \ge 1)$ を満たすものがある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

G 加群の圏はアーベル圏✓命題 2.3・群のコホモロジーと群の拡大
- 小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
- 関手圏・垂直合成・水平合成定義 5.3・圏・関手・自然変換
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏
  - 関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換
    宇宙の公理公理 2.2・圏・関手・自然変換
    小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
    宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

分解によらないこと✓命題 3.4・群のコホモロジーと群の拡大

比較定理（G 加群）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件