数学 › 圏論・ホモロジー代数 › Ext と拡大

Ext¹ と拡大の同値類

定理 4.2（「Ext と拡大」§4） ・ ✓公理まで証明済み

A\mathcal A は十分に射影対象をもつとし、A,CA, C を対象とする。CC の AA による拡大 EE に

Θ(E)=δEA(1A)∈Ext⁡1(C,A)\Theta(E) = \delta^A_E(1_A) \in \operatorname{Ext}^1(C, A)

を対応させる（δEA ⁣:Hom⁡(A,A)→Ext⁡1(C,A)\delta^A_E\colon \operatorname{Hom}(A, A) \to \operatorname{Ext}^1(C, A) は第 1 変数の長完全列の連結射）。

  1. Θ(E)\Theta(E) は EE の同値類だけで決まり、Θ ⁣:YExt⁡1(C,A)→Ext⁡1(C,A)\Theta\colon \operatorname{YExt}^1(C, A) \to \operatorname{Ext}^1(C, A) は全単射である。
  2. Θ(E)=0\Theta(E) = 0 であることと、EE が分裂することは同値である。
  3. ξ ⁣:0→K→jP→πC→0\xi\colon 0 \to K \xrightarrow{j} P \xrightarrow{\pi} C \to 0 を PP が射影対象である短完全列とする。射 α ⁣:K→A\alpha\colon K \to A について Θ(α∗ξ)=δξA(α)\Theta(\alpha_*\xi) = \delta^A_\xi(\alpha) であり、任意の拡大はある α\alpha について α∗ξ\alpha_*\xi と同値である。さらに α∗ξ≡α∗′ξ\alpha_*\xi \equiv \alpha'_*\xi であることと、α−α′=hj\alpha - \alpha' = hj となる h ⁣:P→Ah\colon P \to A が存在することは同値である。
  4. 双対に、A\mathcal A が十分に入射対象をもつなら、定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の Ext⁡1\operatorname{Ext}^1 について、Θ′(E)=δE,C(1C)\Theta'(E) = \delta_{E, C}(1_C)（δE,C ⁣:Hom⁡(C,C)→Ext⁡1(C,A)\delta_{E, C}\colon \operatorname{Hom}(C, C) \to \operatorname{Ext}^1(C, A) は Hom⁡(C,−)\operatorname{Hom}(C, -) の導来関手の連結射）は全単射 YExt⁡1(C,A)→Ext⁡1(C,A)\operatorname{YExt}^1(C, A) \to \operatorname{Ext}^1(C, A) を与え、2 と 3 の双対が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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