δ 関手

$\mathcal A, \mathcal B$ をアーベル圏とする。

1. （コホモロジー的）δ 関手 $T$ とは、加法関手の族 $T^n\colon \mathcal A \to \mathcal B$（$n \ge 0$）と、$\mathcal A$ の短完全列 $E\colon 0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ ごとに定まる射 $\delta^n_E\colon T^n(X'') \to T^{n+1}(X')$（連結射）の組で、次を満たすものをいう。
   • (a) 列 $0 \to T^0X' \to T^0X \to T^0X'' \xrightarrow{\delta^0_E} T^1X' \to \cdots \to T^nX'' \xrightarrow{\delta^n_E} T^{n+1}X' \to T^{n+1}X \to \cdots$ は完全である。
   • (b) 短完全列の射 $(g', g, g'')\colon E \to E_1$ について $\delta^n_{E_1} T^n(g'') = T^{n+1}(g') \delta^n_E$ が成り立つ。
2. δ 関手の射 $f\colon T \to S$ とは、自然変換の族 $f^n\colon T^n \to S^n$ で、すべての短完全列 $E$ と $n$ について $f^{n+1}_{X'} \delta^n_{E, T} = \delta^n_{E, S} f^n_{X''}$ を満たすものをいう。
3. ホモロジー的 δ 関手 $T = (T_n)_{n \ge 0}$ は、連結射 $\delta_n\colon T_n(X'') \to T_{n-1}(X')$（$n \ge 1$）をもち、完全列 $\cdots \to T_1X'' \xrightarrow{\delta_1} T_0X' \to T_0X \to T_0X'' \to 0$ と (b) と同様の自然性を満たすものとして定める。射も同様に定める。