拡大の引き戻しと押し出し

$E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大とする。

1. 射 $\gamma\colon C' \to C$ について、$p$ と $\gamma$ の引き戻しを $E' = E \times_C C'$（射影 $\gamma'\colon E' \to E$、$p'\colon E' \to C'$、$p\gamma' = \gamma p'$）とする。$\gamma' i' = i$、$p' i' = 0$ で定まる $i'\colon A \to E'$ により、$0 \to A \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} C' \to 0$ は拡大で、$(1_A, \gamma', \gamma)$ はこの拡大から $E$ への射である。この拡大を $\gamma^*E$ と書く。
2. 双対に、射 $\alpha\colon A \to A'$ について、$i$ と $\alpha$ の押し出し $E'' = A' \sqcup_A E$（入射 $\alpha'\colon E \to E''$、$i''\colon A' \to E''$、$\alpha' i = i''\alpha$）と、$p''\alpha' = p$、$p'' i'' = 0$ で定まる $p''\colon E'' \to C$ により、$0 \to A' \xrightarrow{i''} E'' \xrightarrow{p''} C \to 0$ は拡大で、$(\alpha, \alpha', 1_C)$ は $E$ からこの拡大への射である。この拡大を $\alpha_*E$ と書く。