Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式

0. この記事の要点

Abel 群 $C$ と $A$ が与えられたとき、$A$ を部分群にもち、割ると $C$ になるような群 $E$ には、どんなものがあるでしょうか。この章は、そのような $E$ の候補の全体が足し算のできる群をなすこと、そしてそれが前の章で導来関手として定義した $\operatorname{Ext}^1$ と一致することを示します。後半では、整数や PID（単項イデアル整域）の場合に $\operatorname{Ext}$ と $\operatorname{Tor}$ を具体的に計算します。

• アーベル圏の短完全列 $0 \to A \to E \to C \to 0$ を「$C$ の $A$ による拡大」とみて、両端を固定した同型で同一視した類の集合 $\operatorname{YExt}^1(C, A)$ を考えます。拡大は $C$ の側で引き戻し（商の側を別の対象に取り替える操作）、$A$ の側で押し出し（部分の側を取り替える操作）ができ、二つの拡大はBaer 和（商の側をそろえて部分の側を足す操作）で足せます。
• 十分に射影対象があるとき、拡大 $E$ に「$\operatorname{Hom}(-, A)$ の長完全列の連結射（短完全列から長完全列の隣の項をつなぐ射）で $1_A$ を写したもの」を対応させると、全単射 $\operatorname{YExt}^1(C, A) \cong \operatorname{Ext}^1(C, A)$ が得られます。分裂拡大は $0$ に、引き戻し・押し出しは $\operatorname{Ext}^1$ の関手性に、Baer 和は加法に対応します。十分に入射対象があるときも双対に同じです。
• 長さ $n$ の完全列（$n$ 拡大）の類として Yoneda の $\operatorname{YExt}^n$ を定め、つなぎ合わせで Yoneda 積を定義します。連結射 $\operatorname{Hom}(A, Y) \to \operatorname{Ext}^1(C, Y)$ は「拡大を押し出す」操作そのものです。
• Abel 群では $n \ge 2$ で $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z} = 0$、自由群・可除群で $\operatorname{Ext}^1$ が消え、$\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/n, N) \cong N/nN$、有限 Abel 群 $A$ について $\operatorname{Ext}^1(A, \mathbb Z) \cong \operatorname{Hom}(A, \mathbb Q/\mathbb Z)$ です。$\operatorname{Ext}^1(\mathbb Q, \mathbb Z)$ は非可算です。
• PID 上で、自由加群の複体 $C$ と任意の複体 $D$ のテンソル積のホモロジーは、$\bigoplus H_p(C) \otimes H_q(D)$ と $\bigoplus \operatorname{Tor}_1(H_p(C), H_q(D))$ からなる短完全列で決まります（代数的 Künneth 公式）。その特別な場合がホモロジーの普遍係数定理です。

この記事で使う事前知識

• 完全列: 各項で「入ってくる射の像」と「出ていく射の核」が一致する列。短完全列 $0 \to A \to E \to C \to 0$ は、$A \to E$ が単射的で $E \to C$ が全射的で、前者の像が後者の核になっているもの。→ 完全列
• mono と epi: 単射・全射を圏論の言葉に直したもの。射 $f$ が mono とは「$fx = 0$ なら $x = 0$」のような左から消せる性質をいう。→ mono
• 射影対象: epi への射を必ず持ち上げられる対象（自由加群が例）。→ 射影対象
• 射影分解: 射影対象を並べた完全列で、加群などの対象を近似したもの。$\operatorname{Ext}$ の定義に使う。→ 射影分解
• δ 関手と連結射: 短完全列から、長完全列の隣り合う項をつなぐ射を与える仕組み。→ δ 関手
• 加法関手: 射の和を保つ関手。→ 加法関手

1. 動機

$\operatorname{Ext}$ の名前は extension（拡大）から来ています。Abel 群 $C$ と $A$ が与えられたとき、$A$ を部分群にもち商が $C$ になる Abel 群 $E$ は何通りあるか、という問いは素朴で、しかも答えは自明ではありません。たとえば $C = A = \mathbb Z/p$ なら、$E$ は $\mathbb Z/p \oplus \mathbb Z/p$ か $\mathbb Z/p^2$ のどちらかですが、「$A$ の埋め込み方と $C$ への射影まで込めて」数えると $p$ 通りあり、その $p$ 通りが自然に位数 $p$ の群をなします。この群が $\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/p, \mathbb Z/p)$ です。

導来関手と δ 関手の章では、$\operatorname{Ext}^n$ を $\operatorname{Hom}$ の導来関手として、射影分解か入射分解を通して定義しました。この定義は計算と長完全列には強い反面、元の意味が見えません。この章では逆向きに、分解を使わずに定義できる「拡大の類」から出発し、それが導来関手の $\operatorname{Ext}^1$ と群として一致することを示します。分解が手に入らない圏（射影対象の乏しい圏）でも拡大は考えられるので、こちらの定義は Yoneda 以来、$\operatorname{Ext}$ の「中身」を与えるものと考えられています。

後半では、$\operatorname{Ext}$ と $\operatorname{Tor}$ を Abel 群と PID 上の加群で具体的に計算します。代数的位相幾何で使う普遍係数定理と Künneth の公式の代数的な部分は、ここで扱う PID 上の自由複体の性質に帰着します。群のコホモロジーの $H^2$ による群の拡大の分類（群のコホモロジーと群の拡大の章）は、この章の Abel 群の拡大の分類を非可換な場合へ広げたものです。

2. 準備：記号と分裂

以下 $\mathcal A$ はアーベル圏（定義 4.1［加法圏とアーベル圏］）とします。短完全列・完全性は 定義 5.1［加法圏とアーベル圏］ の意味で、列 $0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ が短完全であることは「$i$ が $p$ の核で $p$ が epi」と同値です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。このとき $p$ は $i$ の余核でもあります（同じ補題の (2)）。双積 $X_1 \oplus X_2$（群や加群の直和にあたるもの）の入射・射影を $\iota_k, \pi_k$ と書き（定義 3.2［加法圏とアーベル圏］）、射 $f_k\colon X_k \to Y_k$ について $f_1 \oplus f_2 = \iota_1 f_1 \pi_1 + \iota_2 f_2 \pi_2$ とおきます。$\pi_k (f_1 \oplus f_2) = f_k \pi_k$、$(f_1 \oplus f_2)\iota_k = \iota_k f_k$ です。

$\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}$ は 定義 6.1［導来関手と δ 関手］ のもので、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもつときは同じ定義の 2（第 1 変数の射影分解 $P_X$ による $H^n(\operatorname{Hom}(P_X, Y))$）を使います。導来関手・連結射・分解の選び方は導来関手と δ 関手の章の約束に従い、とくに短完全列 $E$ ごとに馬蹄補題（短完全列の両端の射影分解から、中央の射影分解を作る補題）で作った分解 $J_E$ は関手によらずに一つ選んであります。

まず分裂の判定を、アーベル圏の言葉でまとめておきます。

補題 2.1（分裂する短完全列）✓

$0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を $\mathcal A$ の短完全列とする。

1. 次は同値である。(a) $ri = 1_A$ を満たす $r\colon E \to A$ がある。(b) $ps = 1_C$ を満たす $s\colon C \to E$ がある。(c) 射 $r, s$ があって $(E, i, s, r, p)$ は $A, C$ の双積である（すなわち $ri = 1_A$、$ps = 1_C$、$rs = 0$、$pi = 0$、$ir + sp = 1_E$）。
2. (c) のとき、$\varphi = i\pi_1 + s\pi_2\colon A \oplus C \to E$ は同型で、$\varphi\iota_1 = i$、$p\varphi = \pi_2$ を満たす。
3. $F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ がアーベル圏の間の加法関手で、上の列が (a)〜(c) を満たすなら、$0 \to FA \xrightarrow{Fi} FE \xrightarrow{Fp} FC \to 0$ は短完全列で、やはり (a)〜(c) を満たす。

(a)〜(c) を満たす短完全列を分裂するという。

証明（補題 2.1）

1. (c) ⇒ (a)・(b) は定義そのものです。

(a) ⇒ (c): $e = 1_E - ir$ とおくと $ei = i - iri = 0$ です。$p$ は $i$ の余核なので、$e = sp$ となる $s\colon C \to E$ がただ一つあります。$psp = pe = p - pir = p$（$pi = 0$）で $p$ は epi なので $ps = 1_C$ です。$rsp = re = r - rir = 0$ で $p$ は epi なので $rs = 0$ です。$ir + sp = ir + e = 1_E$ で、残りの $ri = 1_A$、$pi = 0$ は仮定と短完全性から成り立ちます。

(b) ⇒ (a): 双対圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏で（命題 4.2［加法圏とアーベル圏］）、$0 \to C \xrightarrow{p} E \xrightarrow{i} A \to 0$ はそこでの短完全列です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。$\mathcal A$ での等式 $ps = 1_C$ は、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ では $s$ が最初の射 $p$ の左逆であること、すなわち $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での (a) を意味します。(a) ⇒ (c) を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で使うと、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で最後の射 $i$ の右逆になる射、すなわち $\mathcal A$ で $ri = 1_A$ を満たす $r\colon E \to A$ が得られます。あとは (a) ⇒ (c) です。

2. $\psi = \iota_1 r + \iota_2 p\colon E \to A \oplus C$ とおくと、(c) の等式から $\varphi\psi = ir + sp = 1_E$、$\psi\varphi = \iota_1(ri)\pi_1 + \iota_1(rs)\pi_2 + \iota_2(pi)\pi_1 + \iota_2(ps)\pi_2 = \iota_1\pi_1 + \iota_2\pi_2 = 1$ です。$\varphi\iota_1 = i$、$p\varphi = (pi)\pi_1 + (ps)\pi_2 = \pi_2$ も (c) から出ます。

3. $F$ は加法関手なので (c) の 5 つの等式を保ち、$(FE, Fi, Fs, Fr, Fp)$ は $FA, FC$ の双積です。双積について $0 \to FA \xrightarrow{Fi} FE \xrightarrow{Fp} FC \to 0$ が短完全であることは 補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 4 です（$Fi, Fp$ が双積の入射 $\iota_1$ と射影 $\pi_2$ の役をする）。

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補題 2.2（短完全列の双積）✓

$0 \to A_k \xrightarrow{i_k} E_k \xrightarrow{p_k} C_k \to 0$（$k = 1, 2$）が短完全列なら、$0 \to A_1 \oplus A_2 \xrightarrow{i_1 \oplus i_2} E_1 \oplus E_2 \xrightarrow{p_1 \oplus p_2} C_1 \oplus C_2 \to 0$ も短完全列である。

証明（補題 2.2）

$i = i_1 \oplus i_2$、$p = p_1 \oplus p_2$ とおきます。$pi = p_1 i_1 \oplus p_2 i_2 = 0$ です。

$p$ は epi。 $tp = 0$ なら $t\iota_k p_k = tp\iota_k = 0$ で、$p_k$ は epi なので $t\iota_k = 0$、よって $t = t(\iota_1\pi_1 + \iota_2\pi_2) = 0$ です（補題 2.2［加法圏とアーベル圏］ の 2）。

$i$ は $p$ の核。 $x\colon X \to E_1 \oplus E_2$ が $px = 0$ を満たすとすると、$p_k \pi_k x = \pi_k p x = 0$ なので、$i_k$ が $p_k$ の核であることから $\pi_k x = i_k y_k$ となる $y_k\colon X \to A_k$ があります。$y = \iota_1 y_1 + \iota_2 y_2$ とおくと $iy = \iota_1 i_1 y_1 + \iota_2 i_2 y_2 = (\iota_1\pi_1 + \iota_2\pi_2)x = x$ です。$i$ は mono（$iy = 0$ なら $i_k\pi_k y = \pi_k i y = 0$ から $\pi_k y = 0$ で $y = 0$）なので、この $y$ は一意です。

補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2) により列は短完全です。

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3. 拡大とその操作

定義 3.1（拡大と拡大の同値）↗

$A, C$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $C$ の $A$ による拡大とは、短完全列 $E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ のことをいう（記号を流用して、列も中央の対象も $E$ と書く）。
2. 拡大 $E\colon 0 \to A \to E \to C' \to 0$ から $E'\colon 0 \to A' \to E' \to C \to 0$ への射とは、射の組 $(\alpha, \varphi, \gamma)$（$\alpha\colon A \to A'$、$\varphi\colon E \to E'$、$\gamma\colon C' \to C$）で $\varphi i = i'\alpha$、$p'\varphi = \gamma p$ を満たすものをいう。$(\alpha, \varphi, \gamma)$ を「$\alpha$ と $\gamma$ の上の射」ともいう。
3. 同じ $A, C$ をもつ拡大 $E, E'$ が同値であるとは、$1_A$ と $1_C$ の上の射 $(1_A, \varphi, 1_C)\colon E \to E'$ があることをいい、$E \equiv E'$ と書く。
4. 双積 $A \oplus C$ と $\iota_1, \pi_2$ による拡大 $0 \to A \to A \oplus C \to C \to 0$（補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 4）を自明な拡大という。補題 2.1 の意味で分裂する拡大を分裂拡大という。

補題 3.2（拡大の同値は同値関係）✓

1. 同値 $(1_A, \varphi, 1_C)\colon E \to E'$ の $\varphi$ は同型であり、$(1_A, \varphi^{-1}, 1_C)$ も拡大の射である。したがって $\equiv$ は同値関係である。
2. 拡大が分裂することと、自明な拡大と同値であることは同値である。

証明（補題 3.2）

1. 二つの行 $0 \to A \to E \to C \to 0$、$0 \to A \to E' \to C \to 0$ は完全で、縦の射 $0, 1_A, \varphi, 1_C, 0$ は可換な図式をなすので、五項補題（系 7.2［加法圏とアーベル圏］ の 3）により $\varphi$ は同型です。$\varphi^{-1} i' = \varphi^{-1}\varphi i = i$、$p\varphi^{-1} = p'\varphi\varphi^{-1} = p'$ なので $(1_A, \varphi^{-1}, 1_C)$ も射です。反射律は恒等射、推移律は射の合成 $(1, \varphi'\varphi, 1)$ で成り立ちます。

2. 分裂するなら、補題 2.1 の 2 の $\varphi$ が自明な拡大から $E$ への同値です。逆に同値 $(1_A, \varphi, 1_C)$ が自明な拡大から $E$ へあれば、$r = \pi_1\varphi^{-1}$ が $ri = \pi_1\varphi^{-1}\varphi\iota_1 = 1_A$ を満たし、補題 2.1 の (a) が成り立ちます。同値が逆向きでも 1 により向きを変えられます。

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定義 3.3（Yoneda の $Ext^1$）↗

$C$ の $A$ による拡大の同値類全体を $\operatorname{YExt}^1(C, A)$ と書き、$E$ の類を $[E]$ と書く。

$\mathcal A$ の対象全体は集合なので（公理 2.2［圏・関手・自然変換］ の約束）、拡大全体も集合で、$\operatorname{YExt}^1(C, A)$ はその商集合です。後で示すように、十分に射影対象があればこれは小さい集合 $\operatorname{Ext}^1(C, A)$ と全単射で結ばれます。

拡大は、商の側では引き戻しで、部分の側では押し出しで「係数を取り替える」ことができます。Abel 群で書くと、拡大 $E \to C$ を $\gamma\colon C' \to C$ で引き戻した群は、$p(x) = \gamma(c')$ を満たす組 $(x, c')$ 全体です。押し出しはその双対で、$A$ を別の群 $A'$ に取り替える操作にあたります。引き戻し・押し出しは 定義 2.4［極限と余極限］ の 3 の意味で、アーベル圏では存在します（命題 4.5［加法圏とアーベル圏］ の 1）。

補題 3.4（拡大の引き戻しと押し出し）✓

$E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大とする。

1. 射 $\gamma\colon C' \to C$ について、$p$ と $\gamma$ の引き戻しを $E' = E \times_C C'$（射影 $\gamma'\colon E' \to E$、$p'\colon E' \to C'$、$p\gamma' = \gamma p'$）とする。$\gamma' i' = i$、$p' i' = 0$ で定まる $i'\colon A \to E'$ により、$0 \to A \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} C' \to 0$ は拡大で、$(1_A, \gamma', \gamma)$ はこの拡大から $E$ への射である。この拡大を $\gamma^*E$ と書く。
2. 双対に、射 $\alpha\colon A \to A'$ について、$i$ と $\alpha$ の押し出し $E'' = A' \sqcup_A E$（入射 $\alpha'\colon E \to E''$、$i''\colon A' \to E''$、$\alpha' i = i''\alpha$）と、$p''\alpha' = p$、$p'' i'' = 0$ で定まる $p''\colon E'' \to C$ により、$0 \to A' \xrightarrow{i''} E'' \xrightarrow{p''} C \to 0$ は拡大で、$(\alpha, \alpha', 1_C)$ は $E$ からこの拡大への射である。この拡大を $\alpha_*E$ と書く。

証明（補題 3.4）

1. $p i = 0 = \gamma 0$ なので、引き戻しの普遍性から $i'$ がただ一つ定まります。$\gamma' i' = i$ が mono なので $i'$ は mono です。$p$ は epi なので、命題 4.5［加法圏とアーベル圏］ の 2 により $p'$ も epi です。

$i'$ が $p'$ の核であることを示します。$x\colon X \to E'$ が $p'x = 0$ を満たすとすると、$p\gamma' x = \gamma p' x = 0$ で、$i$ は $p$ の核なので $\gamma' x = iy$ となる $y\colon X \to A$ があります。すると $\gamma'(i'y) = iy = \gamma' x$、$p'(i'y) = 0 = p'x$ なので、引き戻しの普遍性（射は二つの射影との合成で決まる）から $x = i'y$ です。$i'$ は mono なので $y$ は一意です。補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2) により列は短完全です。$\gamma' i' = i\,1_A$、$p\gamma' = \gamma p'$ は $(1_A, \gamma', \gamma)$ が射であることを言っています。

2. $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏で（命題 4.2［加法圏とアーベル圏］）、$\mathcal A$ の押し出しは $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の引き戻し、$E$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の短完全列 $0 \to C \to E \to A \to 0$ です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。1 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ と $\alpha$ に適用し、矢印を戻します。

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次の補題がこの節の要で、拡大の射はいつも「押し出してから同型」かつ「引き戻してから同型」の形に分解できることを言っています。

補題 3.5（拡大の射の分解）✓

$F\colon 0 \to A \xrightarrow{j} F \xrightarrow{q} C' \to 0$、$E\colon 0 \to A' \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大とし、$(\alpha, \varphi, \gamma)\colon F \to E$ を射とする。

1. $\alpha = 1_A$（$A' = A$）なら $F \equiv \gamma^*E$ である。
2. $\gamma = 1_C$（$C' = C$）なら $\alpha_*F \equiv E$ である。
3. 一般に $\alpha_*F \equiv \gamma^*E$ である。

証明（補題 3.5）

1. 補題 3.4 の 1 の記号で、$p\varphi = \gamma q$ なので引き戻しの普遍性から $\gamma'\theta = \varphi$、$p'\theta = q$ を満たす $\theta\colon F \to E'$ があります。$\gamma'(\theta j) = \varphi j = i = \gamma' i'$、$p'(\theta j) = qj = 0 = p'i'$ なので、普遍性の一意性から $\theta j = i'$ です。よって $(1_A, \theta, 1_{C'})$ は $F$ から $\gamma^*E$ への同値です。

2. 双対に、補題 3.4 の 2 の記号で、$\varphi j = i\alpha$ なので押し出しの普遍性から $\theta\alpha' = \varphi$、$\theta i'' = i$ を満たす $\theta\colon E'' \to E$ があります。$p\theta$ と $p''$ は、$\alpha'$ との合成がどちらも $p\varphi = q$ と $p''\alpha' = q$、$i''$ との合成がどちらも $0$ なので、押し出しの普遍性の一意性から $p\theta = p''$ です。よって $(1_{A'}, \theta, 1_C)$ は $\alpha_*F$ から $E$ への同値です。

3. 補題 3.4 の 2 の記号で $\alpha_*F\colon 0 \to A' \xrightarrow{j''} F'' \xrightarrow{q''} C' \to 0$ とし、$\varphi j = i\alpha$ から押し出しの普遍性で $\theta\alpha' = \varphi$、$\theta j'' = i$ を満たす $\theta\colon F'' \to E$ をとります。$p\theta$ と $\gamma q''$ は、$\alpha'$ との合成が $p\varphi = \gamma q = \gamma q''\alpha'$、$j''$ との合成がどちらも $0$ なので等しく、$(1_{A'}, \theta, \gamma)$ は $\alpha_*F$ から $E$ への射です。1 により $\alpha_*F \equiv \gamma^*E$ です。

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拡大の射の分解。上の行から下の行への射 (α, φ, γ) は、押し出し α_*F を経由し、それは γ^*E と同値になる。

命題 3.6（引き戻し・押し出しの関手性）✓

$E, E'$ を $C$ の $A$ による拡大とし、$\gamma\colon C' \to C$、$\gamma_1\colon C'' \to C'$、$\alpha\colon A \to A'$、$\alpha_1\colon A' \to A''$ を射とする。

1. $E \equiv E'$ なら $\gamma^*E \equiv \gamma^*E'$、$\alpha_*E \equiv \alpha_*E'$ である。
2. $(\gamma\gamma_1)^*E \equiv \gamma_1^*\gamma^*E$、$1_C^*E \equiv E$、$(\alpha_1\alpha)_*E \equiv \alpha_{1*}\alpha_*E$、$1_{A*}E \equiv E$ である。
3. $\alpha_*\gamma^*E \equiv \gamma^*\alpha_*E$ である。

したがって $\gamma^*[E] = [\gamma^*E]$、$\alpha_*[E] = [\alpha_*E]$ により、$\operatorname{YExt}^1$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}} \times \mathcal A$ から集合の圏への関手（双関手）になる。

証明（命題 3.6）

すべて 補題 3.5 を、拡大の射を合成してから当てはめるだけです。

1. 同値 $(1, \varphi, 1)\colon E \to E'$ と 補題 3.4 の 1 の射 $\gamma^*E \to E$ を合成すると、$1_A$ と $\gamma$ の上の射 $\gamma^*E \to E'$ が得られ、補題 3.5 の 1 により $\gamma^*E \equiv \gamma^*E'$ です。同様に $E \to E' \to \alpha_*E'$ は $\alpha$ と $1_C$ の上の射なので、同じ補題の 2 により $\alpha_*E \equiv \alpha_*E'$ です。

2. $\gamma_1^*\gamma^*E \to \gamma^*E \to E$ の合成は $1_A$ と $\gamma\gamma_1$ の上の射なので、補題 3.5 の 1 により $\gamma_1^*\gamma^*E \equiv (\gamma\gamma_1)^*E$ です。恒等射 $(1, 1_E, 1)\colon E \to E$ に同じ補題の 1 を使うと $E \equiv 1_C^*E$ です。押し出しについては、$E \to \alpha_*E \to \alpha_{1*}\alpha_*E$ が $\alpha_1\alpha$ と $1_C$ の上の射であることと恒等射に、同じ補題の 2 を使います。

3. $\gamma^*E \to E \to \alpha_*E$ の合成は $\alpha$ と $\gamma$ の上の射なので、補題 3.5 の 3 により $\alpha_*(\gamma^*E) \equiv \gamma^*(\alpha_*E)$ です。

最後の主張は、1 により $\gamma^*$、$\alpha_*$ が類の上の写像として定まり、2 により関手になり、3 により二つの変数の作用が可換になることを言い換えたものです。

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定義 3.7（Baer 和）↗

$E_1, E_2$ を $C$ の $A$ による拡大とする。補題 2.2 の拡大 $E_1 \oplus E_2$（$C \oplus C$ の $A \oplus A$ による拡大）を、対角射 $\Delta = \iota_1 + \iota_2\colon C \to C \oplus C$ に沿って引き戻し、和の射 $\nabla = \pi_1 + \pi_2\colon A \oplus A \to A$ に沿って押し出した拡大

$$E_1 + E_2 = \nabla_*\Delta^*(E_1 \oplus E_2)$$

を $E_1$ と $E_2$ の Baer 和という。命題 3.6 の 3 により、これは $\Delta^*\nabla_*(E_1 \oplus E_2)$ と同値である。

Abel 群で書くと、$\Delta^*(E_1 \oplus E_2)$ は $\{(x_1, x_2) \in E_1 \oplus E_2 \mid p_1(x_1) = p_2(x_2)\}$ で、そこから $\{(i_1(a), -i_2(a)) \mid a \in A\}$ で割ったものが $E_1 + E_2$ です。「商の側をそろえ、部分の側を足す」という操作です。

4. Ext¹ と拡大の対応

以下この節では、断りがなければ $\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし（定義 3.4［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、$\operatorname{Ext}^n$ は 定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 2 のものとします。対象 $Y$ について $G_Y = \operatorname{Hom}(-, Y)\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ は左完全な加法関手で（命題 5.5［加法圏とアーベル圏］ の 2）、$\operatorname{Ext}^n(-, Y) = R^nG_Y$ です。定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用した自然同型 $G_Y \cong R^0G_Y$ で $\operatorname{Ext}^0(X, Y)$ を $\operatorname{Hom}(X, Y)$ と同一視します。同じ定理の 4 により、拡大（短完全列）$E\colon 0 \to A \to E \to C \to 0$ ごとに連結射

$$\delta^Y_E\colon \operatorname{Ext}^n(A, Y) \to \operatorname{Ext}^{n+1}(C, Y)$$

があり、長完全列 $0 \to \operatorname{Hom}(C, Y) \to \operatorname{Hom}(E, Y) \to \operatorname{Hom}(A, Y) \xrightarrow{\delta^Y_E} \operatorname{Ext}^1(C, Y) \to \operatorname{Ext}^1(E, Y) \to \cdots$ が得られます。射 $\gamma\colon C' \to C$、$\alpha\colon A \to A'$ について $\gamma^* = \operatorname{Ext}^n(\gamma, Y)$、$\alpha_* = \operatorname{Ext}^n(X, \alpha)$ とも書きます（拡大の引き戻し・押し出しと同じ記号を使うのは、次の定理でそれらが対応するからです）。

次の補題は、$\operatorname{Ext}$ の連結射が係数の取り替えや拡大の射と可換であることをまとめたもので、直後の定理（$\Theta$ が同値類だけで決まること、引き戻し・押し出しと対応すること）を示すための部品です。1 と 2 は複体の段階で等式を確かめて $H^n$ をとり、3 は δ 関手の性質から従います。

補題 4.1（Ext の双関手性と連結射）✓

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとする。

1. $\operatorname{Ext}^n(X, -)$ と $\operatorname{Ext}^n(-, Y)$ は加法関手であり、$f\colon X \to X'$、$g\colon Y \to Y'$ について $\operatorname{Ext}^n(X, g)\operatorname{Ext}^n(f, Y) = \operatorname{Ext}^n(f, Y')\operatorname{Ext}^n(X', g)$ が成り立つ。
2. 射 $g\colon Y \to Y'$ と短完全列 $E\colon 0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ について、$\operatorname{Ext}^{n+1}(X'', g)\,\delta^Y_E = \delta^{Y'}_E \operatorname{Ext}^n(X', g)$ が成り立つ（$n \ge 0$。$n = 0$ では $\operatorname{Ext}^0(X', g)$ は $u \mapsto gu$ である）。
3. 拡大の射 $(\alpha, \varphi, \gamma)\colon F \to E$（$F$ は $C'$ の $A$ による拡大、$E$ は $C$ の $A'$ による拡大）と対象 $Y$ について、$\operatorname{Hom}(A', Y)$ 上で $\delta^Y_F \circ \alpha^* = \gamma^* \circ \delta^Y_E$ が成り立つ。ここで $\alpha^*(u) = u\alpha$、$\gamma^* = \operatorname{Ext}^1(\gamma, Y)$ である。
4. 双対に、$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつなら、定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の $\operatorname{Ext}^n$ について 1 が成り立ち、$\operatorname{Hom}(X, -)$ の導来関手の連結射 $\delta_{E, X}\colon \operatorname{Ext}^n(X, Y'') \to \operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y')$（$E\colon 0 \to Y' \to Y \to Y'' \to 0$）について、$f\colon X \to X'$ に対し $\operatorname{Ext}^{n+1}(f, Y')\,\delta_{E, X'} = \delta_{E, X}\operatorname{Ext}^n(f, Y'')$ が成り立ち、拡大の射 $(\alpha, \varphi, \gamma)\colon F \to E$ について $\operatorname{Hom}(X, C')$ 上で $\alpha_* \circ \delta_{F, X} = \delta_{E, X} \circ \gamma_*$ が成り立つ。

証明（補題 4.1）

1. $\operatorname{Ext}^n(-, Y) = R^nG_Y$ は加法関手です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 1 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用）。$\operatorname{Ext}^n(X, g) = H^n(\operatorname{Hom}(P_X, g))$ で、$\operatorname{Hom}(P_X, g)$（$c \mapsto gc$）は微分（$d$ を右から合成する射）と可換な鎖写像です。$g \mapsto \operatorname{Hom}(P_X, g)$ は合成・恒等射・和を保ち、$H^n$ は加法関手なので（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 1）、$\operatorname{Ext}^n(X, -)$ は加法関手です。$f$ の持ち上げ $\phi\colon P_X \to P_{X'}$ をとると $\operatorname{Ext}^n(f, Y) = H^n(\operatorname{Hom}(\phi, Y))$ で、鎖の水準で $\operatorname{Hom}(P_X, g)\operatorname{Hom}(\phi, Y)$ と $\operatorname{Hom}(\phi, Y')\operatorname{Hom}(P_{X'}, g)$ はどちらも $c \mapsto gc\phi$ なので、$H^n$ をとって等式を得ます。

2. 定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 4（すなわち同じ定理の 2 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用したもの）により、$\delta^Y_E$ は複体の短完全列

$$0 \to \operatorname{Hom}(P_{X''}, Y) \to \operatorname{Hom}(J_E, Y) \to \operatorname{Hom}(P_{X'}, Y) \to 0$$

の連結射です。ここで $J_E$ は 補題 3.3［導来関手と δ 関手］ の 2 で作った $X$ の射影分解で、関手によらずに選んであり、二つの射は射影 $J_E \to P_{X''}$ と包含 $P_{X'} \to J_E$ を右から合成する射です。$\operatorname{Hom}(-, g)$（$c \mapsto gc$）は各項で $Y$ の列から $Y'$ の列への射を与え、右からの合成とは可換なので、これは複体の短完全列の射です。命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ により連結射と可換で、両端の $H^n$ はそれぞれ $\operatorname{Ext}^n(X', -)$、$\operatorname{Ext}^{n+1}(X'', -)$ の $g$ による射です。$n = 0$ での同一視 $\operatorname{Hom}(X', Y) \cong H^0(\operatorname{Hom}(P_{X'}, Y))$ は $u \mapsto u\varepsilon$（$\varepsilon\colon P_0 \to X'$ は増強射）で与えられ、$g$ との合成と可換です。

3. $\mathcal A$ の拡大の射 $(\alpha, \varphi, \gamma)\colon F \to E$ は、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ では短完全列 $0 \to C \to E \to A' \to 0$ から $0 \to C' \to F \to A \to 0$ への射で、成分は $\gamma, \varphi, \alpha$ です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。$R^\bullet G_Y$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ 上の δ 関手なので（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 4）、定義 4.1［導来関手と δ 関手］ の (b) をこの射に使うと $\delta^Y_F \circ R^0G_Y(\alpha) = R^1G_Y(\gamma) \circ \delta^Y_E$ です。自然同型 $G_Y \cong R^0G_Y$ のもとで $R^0G_Y(\alpha)$ は $\alpha^*$ に当たり、$R^1G_Y(\gamma) = \gamma^*$ です。

4. $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ は十分に射影対象をもち、その射影分解は $\mathcal A$ の入射分解なので、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での 定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 2 の $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A^{\mathrm{op}}}(Y, X)$ は、同じ分解を選べば複体 $\operatorname{Hom}_{\mathcal A^{\mathrm{op}}}(I_Y, X) = \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X, I_Y)$ のコホモロジーで、$\mathcal A$ での定義 1 の $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y)$ そのものです。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の第 1 変数の連結射は $\mathcal A$ の第 2 変数の連結射なので、1〜3 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用して矢印を戻せば 4 を得ます。

∎

この定理の考え方は次のとおりです。長完全列では、$1_A$ が $E$ に延びる（$ri = 1_A$ となる $r$ がある）ことと、$\delta^A_E(1_A) = 0$ が同値です。ところが $ri = 1_A$ となる $r$ があることは $E$ が分裂することそのものなので、$\delta^A_E(1_A)$ は「$E$ が分裂からどれだけ離れているか」を測る量になります。これが $\Theta(E)$ です。

定理 4.2（Ext¹ と拡大の同値類）✓

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし、$A, C$ を対象とする。$C$ の $A$ による拡大 $E$ に

$$\Theta(E) = \delta^A_E(1_A) \in \operatorname{Ext}^1(C, A)$$

を対応させる（$\delta^A_E\colon \operatorname{Hom}(A, A) \to \operatorname{Ext}^1(C, A)$ は第 1 変数の長完全列の連結射）。

1. $\Theta(E)$ は $E$ の同値類だけで決まり、$\Theta\colon \operatorname{YExt}^1(C, A) \to \operatorname{Ext}^1(C, A)$ は全単射である。
2. $\Theta(E) = 0$ であることと、$E$ が分裂することは同値である。
3. $\xi\colon 0 \to K \xrightarrow{j} P \xrightarrow{\pi} C \to 0$ を $P$ が射影対象である短完全列とする。射 $\alpha\colon K \to A$ について $\Theta(\alpha_*\xi) = \delta^A_\xi(\alpha)$ であり、任意の拡大はある $\alpha$ について $\alpha_*\xi$ と同値である。さらに $\alpha_*\xi \equiv \alpha'_*\xi$ であることと、$\alpha - \alpha' = hj$ となる $h\colon P \to A$ が存在することは同値である。
4. 双対に、$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつなら、定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の $\operatorname{Ext}^1$ について、$\Theta'(E) = \delta_{E, C}(1_C)$（$\delta_{E, C}\colon \operatorname{Hom}(C, C) \to \operatorname{Ext}^1(C, A)$ は $\operatorname{Hom}(C, -)$ の導来関手の連結射）は全単射 $\operatorname{YExt}^1(C, A) \to \operatorname{Ext}^1(C, A)$ を与え、2 と 3 の双対が成り立つ。

証明（定理 4.2）

準備: $\delta^A_\xi$ の核と像。 射影対象 $P$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の入射対象なので（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の最後の主張を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用）、定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ と $G_A$ に適用して $\operatorname{Ext}^1(P, A) = R^1G_A(P) = 0$ です。$\xi$ の長完全列（同じ定理の 4）の一部

$$\operatorname{Hom}(P, A) \xrightarrow{j^*} \operatorname{Hom}(K, A) \xrightarrow{\delta^A_\xi} \operatorname{Ext}^1(C, A) \to \operatorname{Ext}^1(P, A) = 0$$

は完全です（$R^0G_A(j)$ は同一視 $G_A \cong R^0G_A$ のもとで $j^*(u) = uj$ に当たる）。よって $\delta^A_\xi$ は全射で、その核は $j^*$ の像です。これは 補題 5.7［導来関手と δ 関手］ の 3 の同型 $\operatorname{Ext}^1(C, A) \cong \operatorname{Coker}(j^*)$ を、連結射で書いたものです。

拡大から $\xi$ への射。 拡大 $E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ をとります。$p$ は epi で $P$ は射影対象なので、$p\beta = \pi$ となる $\beta\colon P \to E$ があります（定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。$p\beta j = \pi j = 0$ で $i$ は $p$ の核なので、$\beta j = i\alpha_E$ となる $\alpha_E\colon K \to A$ がただ一つあります。すると $(\alpha_E, \beta, 1_C)\colon \xi \to E$ は拡大の射で、補題 4.1 の 3 を $Y = A$ で使うと $\delta^A_\xi(\alpha_E^*(1_A)) = \delta^A_E(1_A)$、すなわち

$$\Theta(E) = \delta^A_\xi(\alpha_E)$$

です。また 補題 3.5 の 2 により $E \equiv \alpha_{E*}\xi$ です。

3. 補題 3.4 の 2 の射 $(\alpha, \alpha', 1_C)\colon \xi \to \alpha_*\xi$ に同じ議論（補題 4.1 の 3）を使うと $\Theta(\alpha_*\xi) = \delta^A_\xi(\alpha)$ です。任意の拡大が $\alpha_*\xi$ の形と同値であることは上で示しました。$h\colon P \to A$ について、$\alpha_*\xi$ を $0 \to A \xrightarrow{i''} X \xrightarrow{p''} C \to 0$ と書き、押し出しの入射を $\bar\alpha\colon P \to X$（補題 3.4 の 2 の $\alpha'$。$\bar\alpha j = i''\alpha$、$p''\bar\alpha = \pi$）として $\varphi = \bar\alpha + i''h$ とおきます。$\varphi j = \bar\alpha j + i''hj = i''\alpha + i''hj = i''(\alpha + hj)$、$p''\varphi = p''\bar\alpha + p''i''h = \pi$ なので、$(\alpha + hj, \varphi, 1_C)\colon \xi \to \alpha_*\xi$ は拡大の射です。補題 3.5 の 2 により $(\alpha + hj)_*\xi \equiv \alpha_*\xi$ です。逆に $\alpha_*\xi \equiv \alpha'_*\xi$ なら、次の 1 の前半により $\delta^A_\xi(\alpha) = \Theta(\alpha_*\xi) = \Theta(\alpha'_*\xi) = \delta^A_\xi(\alpha')$ で、準備により $\alpha - \alpha'$ は $j^*$ の像に入ります。

1. 同値 $(1_A, \varphi, 1_C)\colon E \to E'$ に 補題 4.1 の 3 を使うと $\delta^A_E = \delta^A_{E'}$ なので、$\Theta(E) = \Theta(E')$ です。

全射。 $x \in \operatorname{Ext}^1(C, A)$ をとると、準備により $x = \delta^A_\xi(\alpha)$ となる $\alpha$ があり、3 により $x = \Theta(\alpha_*\xi)$ です。

単射。 $\Theta(E) = \Theta(E')$ とします。上の式から $\delta^A_\xi(\alpha_E) = \delta^A_\xi(\alpha_{E'})$ なので、準備により $\alpha_{E'} = \alpha_E + hj$ となる $h$ があります。3 により $\alpha_{E*}\xi \equiv \alpha_{E'*}\xi$ で、$E \equiv \alpha_{E*}\xi$、$E' \equiv \alpha_{E'*}\xi$ と合わせて $E \equiv E'$ です。

2. 長完全列の一部 $\operatorname{Hom}(E, A) \xrightarrow{i^*} \operatorname{Hom}(A, A) \xrightarrow{\delta^A_E} \operatorname{Ext}^1(C, A)$ は完全です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 4 と、同一視 $G_A \cong R^0G_A$）。よって $\Theta(E) = 0$ であることと、$1_A = ri$ となる $r\colon E \to A$ があることは同値で、補題 2.1 の 1 により後者は $E$ が分裂することと同値です。

4. 補題 4.1 の 4 の証明と同じく、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ は十分に射影対象をもち、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での定義 2 の $\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A^{\mathrm{op}}}(A, C)$ は $\mathcal A$ での定義 1 の $\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(C, A)$ です。$C$ の $A$ による $\mathcal A$ の拡大 $E$ は、矢印を逆にすると $A$ の $C$ による $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の拡大 $E^{\mathrm{op}}$ になり（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）、拡大の射・同値・分裂も対応します（双積の等式は合成の順序を逆にしても同じ形）。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の第 1 変数の連結射は $\mathcal A$ の $\operatorname{Hom}(C, -)$ の導来関手の連結射なので、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での $\Theta(E^{\mathrm{op}})$ は $\Theta'(E)$ です。1〜3 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用すれば 4 を得ます。3 の双対は、$\eta\colon 0 \to A \xrightarrow{k} I \to L \to 0$（$I$ は入射対象）と $\gamma\colon C \to L$ について「任意の拡大はある $\gamma$ の引き戻し $\gamma^*\eta$ と同値で、$\gamma^*\eta \equiv \gamma'^*\eta$ と $\gamma - \gamma'$ が $I \to L$ を経由することは同値」という主張です。

∎

定理の 3 の状況。射影的な表示 ξ を α : K → A に沿って押し出すと、A による C の拡大 α_*ξ が得られる。

定理の 3 は計算の道具です。$\operatorname{Ext}^1(C, A)$ の元を一つ与えると、それを表す拡大は「$C$ の射影的な表示 $0 \to K \to P \to C \to 0$ を、$K \to A$ に沿って押し出したもの」として具体的に書けます。

次に、$\operatorname{YExt}^1$ の関手性（命題 3.6）が $\operatorname{Ext}^1$ の関手性と一致することを示します。

命題 4.3（引き戻し・押し出しと Ext¹ の関手性）✓

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし、$E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大とする。

1. 射 $\gamma\colon C' \to C$ について $\Theta(\gamma^*E) = \operatorname{Ext}^1(\gamma, A)\,\Theta(E)$ である。
2. 射 $f\colon A \to Y$ について $\delta^Y_E(f) = \Theta(f_*E)$ である。
3. 射 $\alpha\colon A \to A'$ について $\Theta(\alpha_*E) = \operatorname{Ext}^1(C, \alpha)\,\Theta(E)$ である。

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、$\Theta'$ について同じ主張（2 は「$g\colon Y \to C$ について $\delta_{E, Y}(g) = \Theta'(g^*E)$」）が成り立つ。

証明（命題 4.3）

1. 補題 3.4 の 1 の射 $(1_A, \gamma', \gamma)\colon \gamma^*E \to E$ に 補題 4.1 の 3（$Y = A$）を使うと $\delta^A_{\gamma^*E} = \operatorname{Ext}^1(\gamma, A)\,\delta^A_E$ で、$1_A$ を代入します。

2. 補題 3.4 の 2 の射 $(f, f', 1_C)\colon E \to f_*E$ に 補題 4.1 の 3 を $Y$ について使うと、$\operatorname{Hom}(Y, Y)$ 上で $\delta^Y_E \circ f^* = \delta^Y_{f_*E}$ です。$1_Y$ を代入すると $\delta^Y_E(f) = \delta^Y_{f_*E}(1_Y) = \Theta(f_*E)$ です。

3. 2 を $Y = A'$、$f = \alpha$ で使い、補題 4.1 の 2（$n = 0$、$g = \alpha$）を $1_A \in \operatorname{Hom}(A, A)$ に使うと

$$\Theta(\alpha_*E) = \delta^{A'}_E(\alpha) = \delta^{A'}_E(\alpha \circ 1_A) = \operatorname{Ext}^1(C, \alpha)\,\delta^A_E(1_A) = \operatorname{Ext}^1(C, \alpha)\,\Theta(E)$$

です。

十分に入射対象をもつ場合は、定理 4.2 の 4 の証明と同じく $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に移します。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ では引き戻しと押し出しの役が入れ替わります。

∎

2 は、第 1 変数の長完全列の連結射 $\operatorname{Hom}(A, Y) \to \operatorname{Ext}^1(C, Y)$ が「$E$ を $f$ に沿って押し出す」操作そのものであることを言っています。長完全列の完全性と合わせると、次の読み方が得られます。

系 4.4（連結射と押し出し）✓

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし、$E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大、$Y$ を対象とする。射 $f\colon A \to Y$ について次は同値である。

• (a) $f = gi$ となる $g\colon E \to Y$ がある（$f$ は $E$ に延びる）。
• (b) $\delta^Y_E(f) = 0$。
• (c) $f_*E$ は分裂する。

証明（系 4.4）

(a) ⇔ (b) は長完全列 $\operatorname{Hom}(E, Y) \xrightarrow{i^*} \operatorname{Hom}(A, Y) \xrightarrow{\delta^Y_E} \operatorname{Ext}^1(C, Y)$ の完全性です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 4）。(b) ⇔ (c) は 命題 4.3 の 2 と 定理 4.2 の 2 です。

∎

最後に、Baer 和が $\operatorname{Ext}^1$ の加法に対応することを示します。

定理 4.5（Baer 和と Ext¹ の加法）✓

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとする。

1. $C$ の $A$ による拡大 $E_1, E_2$ について $\Theta(E_1 + E_2) = \Theta(E_1) + \Theta(E_2)$ である。
2. Baer 和は $\operatorname{YExt}^1(C, A)$ 上の演算 $[E_1] + [E_2] = [E_1 + E_2]$ を定め、これにより $\operatorname{YExt}^1(C, A)$ は Abel 群になり、$\Theta$ は群の同型になる。零元は分裂拡大の類、$[E]$ の逆元は $[(-1_A)_*E]$ である。
3. $\gamma^*$ と $\alpha_*$ は $\operatorname{YExt}^1$ の群準同型である。

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつときも、$\Theta'$ について同じ主張が成り立つ。

証明（定理 4.5）

1. $\iota_k, \pi_k$ を $C \oplus C$ の、$\iota'_k, \pi'_k$ を $A \oplus A$ の入射・射影とし、$x_k = \Theta(E_k)$、$x = \Theta(E_1 \oplus E_2) \in \operatorname{Ext}^1(C \oplus C, A \oplus A)$ とおきます。$E_1 \oplus E_2$ の射影 $\pi^E_k\colon E_1 \oplus E_2 \to E_k$ は $\pi^E_k(i_1 \oplus i_2) = i_k\pi'_k$、$p_k\pi^E_k = \pi_k(p_1 \oplus p_2)$ を満たすので、$(\pi'_k, \pi^E_k, \pi_k)$ は拡大の射 $E_1 \oplus E_2 \to E_k$ です。補題 3.5 の 3 により $\pi'_{k*}(E_1 \oplus E_2) \equiv \pi_k^*E_k$ で、命題 4.3 の 1・3 により

$$\operatorname{Ext}^1(C \oplus C, \pi'_k)\, x = \operatorname{Ext}^1(\pi_k, A)\, x_k$$

です。$\operatorname{Ext}^1(C \oplus C, -)$ は加法関手なので（補題 4.1 の 1）、$1 = \iota'_1\pi'_1 + \iota'_2\pi'_2$ から

$$x = \sum_{k=1}^{2} \operatorname{Ext}^1(C \oplus C, \iota'_k)\operatorname{Ext}^1(C \oplus C, \pi'_k)\, x = \sum_{k=1}^{2} \operatorname{Ext}^1(C \oplus C, \iota'_k)\operatorname{Ext}^1(\pi_k, A)\, x_k$$

です。命題 4.3 の 1・3 を $E_1 + E_2 = \nabla_*\Delta^*(E_1 \oplus E_2)$ に使い、補題 4.1 の 1（二つの変数の作用の可換性と関手性）で整理すると

$$\Theta(E_1 + E_2) = \operatorname{Ext}^1(C, \nabla)\operatorname{Ext}^1(\Delta, A \oplus A)\, x = \sum_{k=1}^{2} \operatorname{Ext}^1(C, \nabla\iota'_k)\operatorname{Ext}^1(\pi_k\Delta, A)\, x_k = x_1 + x_2$$

です（$\nabla\iota'_k = 1_A$、$\pi_k\Delta = 1_C$）。

2. $E_1 \equiv E'_1$ なら $\Theta(E_1 + E_2) = \Theta(E_1) + \Theta(E_2) = \Theta(E'_1 + E_2)$ で、$\Theta$ は単射なので（定理 4.2 の 1）$E_1 + E_2 \equiv E'_1 + E_2$ です。第 2 成分も同様で、演算は類の上で定まります。$\Theta$ は全単射で和を和に写すので、$\operatorname{Ext}^1(C, A)$ の Abel 群の構造が $\operatorname{YExt}^1(C, A)$ に移り、$\Theta$ は群の同型です。零元は $\Theta^{-1}(0)$ で、定理 4.2 の 2 により分裂拡大の類です。$\operatorname{Ext}^1(C, -)$ は加法関手なので $\operatorname{Ext}^1(C, -1_A) = -1$ で、命題 4.3 の 3 により $\Theta((-1_A)_*E) = -\Theta(E)$ です。

3. 命題 4.3 の 1・3 により、$\Theta$ で移すと $\gamma^*$、$\alpha_*$ は加法関手 $\operatorname{Ext}^1$ の射 $\operatorname{Ext}^1(\gamma, A)$、$\operatorname{Ext}^1(C, \alpha)$ になり、これらは準同型です。

十分に入射対象をもつ場合は、定理 4.2 の 4 の証明と同じく $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に移します。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での Baer 和は $\mathcal A$ で書くと $\Delta^*\nabla_*(E_1 \oplus E_2)$ で、定義 3.7 の注意により $E_1 + E_2$ と同値です。

∎

注意 4.6（射影対象も入射対象も十分にないとき）

$\operatorname{YExt}^1(C, A)$ と Baer 和は、射影対象や入射対象を使わずに定義できます。Baer 和が結合律・交換律を満たし、分裂拡大の類を零元とする Abel 群を与えることは、拡大の図式を直接操作して一般のアーベル圏で示せます（S. Mac Lane『Homology』第 III 章）。この章では、上の定理を通して十分な射影対象（または入射対象）がある場合に限って群の構造を導きました。

たとえば有限 Abel 群の圏 $\mathsf{Ab}_{\mathrm{fin}}$ の射影対象は $0$ だけで（例 3.5［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、導来関手としての $\operatorname{Ext}$ は定義 2 では作れませんが、拡大の類は意味をもちます。有限 Abel 群どうしの拡大の中央の群は有限なので、$\mathsf{Ab}_{\mathrm{fin}}$ での $\operatorname{YExt}^1(C, A)$ は $\mathsf{Ab}$ でのものと同じ集合で、$\mathsf{Ab}$ の側で計算できます。逆に Abel 群の層の圏は十分に入射対象をもちますが射影対象は乏しいので（注意 6.9［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、そこでは 定理 4.2 の 4 の形を使います。

注意 4.7（二つの記述の比較について）

射影対象と入射対象をともに十分にもつとき（たとえば $\mathsf{Mod}_R$）、$\Theta$ と $\Theta'$ の二つの全単射があり、平衡性の同型（定理 6.2［導来関手と δ 関手］）を通して比べることができます。連結射の符号の約束が絡むので、この章ではこの比較を使わず、以後は射影対象を使う $\Theta$ だけで計算します。符号が実際に現れる例は 演習 8.4 にあります。

5. Yoneda の Ext^n と Yoneda 積

拡大を長くすると、高次の $\operatorname{Ext}$ の「中身」が得られます。

定義 5.1（n 拡大と Yoneda の $Ext^n$）↗

$n \ge 1$ とし、$A, C$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $C$ の $A$ による $n$ 拡大とは、完全列 $S\colon 0 \to A \to X_n \to X_{n-1} \to \cdots \to X_1 \to C \to 0$ のことをいう。
2. 同じ $A, C$ をもつ $n$ 拡大 $S, S'$ の間の射とは、射の族 $f_k\colon X_k \to X'_k$（$1 \le k \le n$）で、$A$ と $C$ の上では恒等射として、すべての四角形が可換になるものをいう。
3. $S \approx S'$ を、$n$ 拡大の列 $S = S_0, S_1, \ldots, S_m = S'$ で、隣り合う $S_{l-1}, S_l$ の間にどちらかの向きの射があるものが存在することと定める。$\approx$ は同値関係で、その同値類全体を $\operatorname{YExt}^n(C, A)$ と書く。$\operatorname{YExt}^0(C, A) = \operatorname{Hom}(C, A)$ とおく。

$\approx$ は、射の存在から生成される同値関係として定義したので、反射律・対称律・推移律は定義から成り立ちます。$n = 1$ では、射は 補題 3.2 の 1 によりすべて同値なので、$\approx$ は $\equiv$ と一致し、定義 3.3 と同じものになります。$n \ge 2$ では射は同型とは限らないので、生成された同値関係を使う必要があります。

定義 5.2（Yoneda 積）↗

$m, n \ge 1$ とする。$B$ の $A$ による $m$ 拡大 $T\colon 0 \to A \to Y_m \to \cdots \to Y_1 \xrightarrow{e} B \to 0$ と、$C$ の $B$ による $n$ 拡大 $S\colon 0 \to B \xrightarrow{k} X_n \to \cdots \to X_1 \to C \to 0$ について、それらを $B$ でつないだ列

$$T \circ S\colon 0 \to A \to Y_m \to \cdots \to Y_1 \xrightarrow{ke} X_n \to \cdots \to X_1 \to C \to 0$$

をつなぎ合わせという。類について $[T] \cdot [S] = [T \circ S]$ と定め、Yoneda 積という。とくに $m = n = 1$ のとき、拡大 $0 \to A \to E \to B \to 0$ と $0 \to B \to F \to C \to 0$ から 2 拡大 $0 \to A \to E \to F \to C \to 0$ が得られ、$\operatorname{YExt}^1(B, A) \times \operatorname{YExt}^1(C, B) \to \operatorname{YExt}^2(C, A)$ が定まる。

命題 5.3（Yoneda 積の well-definedness）✓

定義 5.2 の状況で、次が成り立つ。

1. $T \circ S$ は $C$ の $A$ による $(m+n)$ 拡大である。
2. $T \approx T'$、$S \approx S'$ なら $T \circ S \approx T' \circ S'$ である。したがって Yoneda 積 $\operatorname{YExt}^m(B, A) \times \operatorname{YExt}^n(C, B) \to \operatorname{YExt}^{m+n}(C, A)$ は well-defined である。
3. Yoneda 積は結合的である。

証明（命題 5.3）

1. 完全性が新しく問題になるのは $Y_1$ と $X_n$ だけです。$e$ は epi（$T$ の $B$ での完全性）、$k$ は mono（$S$ の $B$ での完全性）です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。

$Y_1$ での完全性。 $Y_1$ に入る射を $a$（$m = 1$ なら $A \to Y_1$）とします。$k$ は mono なので、射 $x$ について $kex = 0 \iff ex = 0$ です。したがって $e$ の核 $\ker e$ は $ke$ の核でもあります（核の普遍性の条件が同じ）。$T$ は $Y_1$ で完全なので $\operatorname{im} a$ と $\ker e$ は同じ部分対象で、これは $Y_1$ での $T \circ S$ の完全性です。

$X_n$ での完全性。 $X_n$ から出る射を $b$（$n = 1$ なら $X_1 \to C$）とします。$bke = 0$ です。$ke$ は mono $k$ と epi $e$ の合成なので、定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 3 により $\operatorname{im}(ke)$ は $k$ と同じ部分対象で、$k = k \circ 1_B$ から $\operatorname{im} k$ も $k$ と同じ部分対象です。$S$ は $X_n$ で完全なので $\operatorname{im} k$ と $\ker b$ は同じ部分対象で、これは $X_n$ での $T \circ S$ の完全性です。

2. $T$ から $T'$ への射 $(g_m, \ldots, g_1)$ があるとします。$A, B$ の上で恒等射なので $e'g_1 = e$ で、$ke'g_1 = ke$ です。よって $(g_m, \ldots, g_1, 1_{X_n}, \ldots, 1_{X_1})$ は $T \circ S$ から $T' \circ S$ への射です。逆向きの射についても同様です。$S$ から $S'$ への射 $(f_n, \ldots, f_1)$ については $f_n k = k'$ から $f_n ke = k'e$ で、$(1, \ldots, 1, f_n, \ldots, f_1)$ が $T \circ S$ から $T \circ S'$ への射です。$\approx$ は射の存在から生成されるので、隣り合う射ごとにこれを使えば $T \circ S \approx T' \circ S \approx T' \circ S'$ です。

3. $(U \circ T) \circ S$ と $U \circ (T \circ S)$ は同じ列です。

∎

注意 5.4（Yoneda の $Ext^n$ と導来関手の $Ext^n$）

$\mathcal A$ が十分に射影対象（または入射対象）をもつとき、$n \ge 2$ でも全単射 $\operatorname{YExt}^n(C, A) \cong \operatorname{Ext}^n(C, A)$ があり、Yoneda 積は導来関手の側の積（射影分解の間の鎖写像の合成から作る積）に対応します。対応は、$n$ 拡大 $S$ を短完全列 $0 \to A \to X_n \to Z_{n-1} \to 0$、$0 \to Z_{n-1} \to X_{n-1} \to Z_{n-2} \to 0$、…、$0 \to Z_1 \to X_1 \to C \to 0$ に切り分け、連結射を $n$ 回合成して $1_A$ を写すことで与えられ、$n = 1$ では 定理 4.2 の $\Theta$ です。全単射であることの証明は $n = 1$ の場合より長く、この章では主張と文献を示すだけにします（S. Mac Lane『Homology』第 III 章、C. A. Weibel『An Introduction to Homological Algebra』§3.4）。導来圏の言葉では、$\operatorname{Ext}^n(C, A)$ は $C$ から $A$ を $n$ だけずらしたものへの射の集合になり、Yoneda 積は射の合成になります。この見方からの証明は導来圏の章の話題です。

次の例は、分裂しない拡大 $E$ を二つつなぐと 2 拡大ができる様子を、$\mathbb Z/4$ 上の加群で具体的に見るものです。

例 5.5（Z/4 上の 2 拡大）

$R = \mathbb Z/4$ とし、$R$ 加群の拡大 $E\colon 0 \to \mathbb Z/2 \xrightarrow{2} \mathbb Z/4 \to \mathbb Z/2 \to 0$（最初の射は $1 \mapsto 2$、次は還元）を考えます。$E$ は分裂しません。分裂すれば中央の加群は $\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/2$ と同型で $2$ 倍が $0$ になるはずですが、$\mathbb Z/4$ では $2 \cdot 1 \ne 0$ です。Yoneda 積 $[E] \cdot [E]$ は 2 拡大

$$0 \to \mathbb Z/2 \xrightarrow{2} \mathbb Z/4 \xrightarrow{2} \mathbb Z/4 \to \mathbb Z/2 \to 0$$

の類で、さらに $E$ をつなぎ続けると、導来関手と δ 関手の章の演習で $\operatorname{Ext}^n_R(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2) = \mathbb Z/2$ の計算に使った周期的な分解が現れます。注意 5.4 の対応のもとで、$[E]^{\cdot n}$ はその生成元に当たります。

6. Abel 群と PID 上の加群の Ext

この節では $R$ を可換環とし、$\mathsf{Mod}_R$ で考えます。$\mathsf{Mod}_R$ は十分に射影対象と入射対象をもつアーベル圏で（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、定義 1 と定義 2 の $\operatorname{Ext}^n_R$ は両変数について自然に同型です（定理 6.2［導来関手と δ 関手］ の 2）。これは可換環論の $\operatorname{Ext}^n_R$ と一致し（命題 7.1［導来関手と δ 関手］ の 3）、$R = \mathbb Z$ の $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(M, N)$ は代数的位相幾何の $\operatorname{Ext}(M, N)$（定義 3.2［コホモロジーと双対性］）と一致します（同じ命題の 4）。以下 $\operatorname{Ext}_R(M, N) = \operatorname{Ext}^1_R(M, N)$、$\operatorname{Ext}(M, N) = \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(M, N)$ と書きます。

PID 上の自由加群の部分加群が自由であることは、有限階数の場合が 定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］、$\mathbb Z$ の場合が 補題 3.1［コホモロジーと双対性］ にあります。Künneth の公式では一般の PID と任意の階数が要るので、ここで証明しておきます。

この補題は、次の命題で「PID 上では $\operatorname{Ext}^n$ が $n \ge 2$ で消える」ことを示すために使います（自由加群の部分加群が自由なので、射影分解が長さ 1 で止まります）。証明の方針は、基底の添字を一つずつ増やしながら $H$ の基底を伸ばしていき、これ以上伸ばせない極大元が $H$ 全体の基底になることを示す、というものです。添字が無限個でも通すために Zorn の補題を使います。

補題 6.1（PID 上の自由加群の部分加群）✓

$R$ を PID、$F$ を自由 $R$ 加群とする。$F$ の部分加群 $H$ は自由である。

証明（補題 6.1）

$F$ の基底を $(e_i)_{i \in I}$ とし、$J \subseteq I$ について $F_J$ を $\{e_j\}_{j \in J}$ が生成する部分加群、$H_J = H \cap F_J$ とおきます。組 $(J, B)$（$J \subseteq I$、$B$ は $H_J$ の基底）全体の集合 $\mathcal P$ に、$J \subseteq J'$ かつ $B \subseteq B'$ のとき $(J, B) \le (J', B')$ として半順序を入れます。$(\varnothing, \varnothing) \in \mathcal P$ です。

鎖は上界をもつ。 鎖 $(J_\lambda, B_\lambda)_\lambda$ について $J = \bigcup J_\lambda$、$B = \bigcup B_\lambda$ とおきます。$B$ の有限個の元は、鎖なので一つの $B_\lambda$ に入り、一次独立です。$x \in H_J$ は有限個の $e_j$ だけを使うので、それらの添字は一つの $J_\lambda$ に入り、$x \in H_{J_\lambda}$ は $B_\lambda$ の一次結合です。よって $(J, B) \in \mathcal P$ は上界です。

Zorn の補題（定理 5.1［選択公理と Zorn の補題］）により極大元 $(J, B)$ があります。$J \ne I$ と仮定し、$i \in I \setminus J$、$J' = J \cup \{i\}$ とします。$e_i$ の係数をとる $R$ 線形写像 $c\colon H_{J'} \to R$ の像はイデアルなので、$dR$ の形です。

• $d = 0$ なら $H_{J'} \subseteq F_J$ なので $H_{J'} = H_J$ で、$(J', B) \in \mathcal P$ は $(J, B)$ より真に大きく、極大性に反します。
• $d \ne 0$ なら $c(h) = d$ となる $h \in H_{J'}$ をとります。$x \in H_{J'}$ について $c(x) = rd$ なら $c(x - rh) = 0$ で $x - rh \in H_J$ なので、$B \cup \{h\}$ は $H_{J'}$ を生成します。$\sum_b r_b b + sh = 0$ なら、$c$ を施して $sd = 0$、$R$ は整域なので $s = 0$、$B$ の一次独立性から $r_b = 0$ です。よって $B \cup \{h\}$ は $H_{J'}$ の基底で（$c(h) \ne 0$ なので $h \notin B$）、$(J', B \cup \{h\})$ は $(J, B)$ より真に大きく、極大性に反します。

したがって $J = I$ で、$B$ は $H_I = H$ の基底です。

∎

次の命題は、Abel 群の $\operatorname{Ext}$ を計算するための道具をそろえたものです。自由群や、可除群（どの元も、0 でない整数で割れる Abel 群。$\mathbb Q$ が例）では $\operatorname{Ext}^1$ が消え、$\mathbb Z/n$ からの $\operatorname{Ext}^1$ は $N/nN$ になります。

命題 6.2（Abel 群の Ext の計算）✓

$M, N$ を Abel 群とする。

1. $n \ge 2$ で $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(M, N) = 0$ である。より一般に、$R$ が PID なら $n \ge 2$ で $\operatorname{Ext}^n_R = 0$ である。
2. $M$ が自由（より一般に射影的）なら、$\operatorname{Ext}(M, N) = 0$ である。すなわち $M$ の拡大はすべて分裂する。
3. $N$ が可除なら、$\operatorname{Ext}(M, N) = 0$ である。
4. 可換環 $R$ と非零因子 $a \in R$、$R$ 加群 $N$ について $\operatorname{Ext}_R(R/aR, N) \cong N/aN$ である。$y + aN$ に対応する拡大は、$0 \to R \xrightarrow{a} R \to R/aR \to 0$ を $1 \mapsto y$ で定まる $R \to N$ に沿って押し出したものである。とくに $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/n, N) \cong N/nN$（$n \ge 1$）である。
5. 両変数について有限直和を保つ：$\operatorname{Ext}(M_1 \oplus M_2, N) \cong \operatorname{Ext}(M_1, N) \oplus \operatorname{Ext}(M_2, N)$、$\operatorname{Ext}(M, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Ext}(M, N_1) \oplus \operatorname{Ext}(M, N_2)$。

証明（命題 6.2）

1. $R$ を PID、$M$ を $R$ 加群とします。自由加群からの全射 $F_0 \to M$ があり（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2）、その核 $F_1$ は 補題 6.1 により自由です（$R = \mathbb Z$ なら 補題 3.1［コホモロジーと双対性］ でもよい）。自由加群は射影的なので（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ と 命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1）、$0 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0$ は長さ $1$ 以下の射影分解で、$n \ge 1$ について長さ $n$ 以下の射影分解でもあります。命題 6.5［導来関手と δ 関手］ の双対の主張により、$n \ge 1$ についてすべての $N$ で $\operatorname{Ext}^{n+1}_R(M, N) = 0$ です。

2. 拡大 $0 \to N \to E \xrightarrow{p} M \to 0$ について、$M$ は射影対象で $p$ は epi なので、$ps = 1_M$ となる $s$ があり（定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、拡大は分裂します（補題 2.1）。定理 4.2 の 1・2 により $\operatorname{Ext}(M, N) = 0$ です。自由群は射影的です（1 と同じ理由）。

3. 可除 Abel 群は入射的で（命題 3.6［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 2）、命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1 により $\mathsf{Ab}$ の入射対象です。拡大 $0 \to N \xrightarrow{i} E \to M \to 0$ について、$i$ は mono なので $ri = 1_N$ となる $r$ があり（定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2）、拡大は分裂します。2 と同様に $\operatorname{Ext}(M, N) = 0$ です。

4. $a$ は非零因子なので、$\xi\colon 0 \to R \xrightarrow{a} R \xrightarrow{\pi} R/aR \to 0$ は短完全列で、$R$ は自由なので射影的です。定理 4.2 の 3 により $\Theta(\alpha_*\xi) = \delta^N_\xi(\alpha)$ なので、$\alpha \mapsto \Theta(\alpha_*\xi)$ は連結射 $\delta^N_\xi$ に等しく、準同型です。同じ定理の 1・3 により、これは全射 $\operatorname{Hom}(R, N) \to \operatorname{Ext}_R(R/aR, N)$ で、$\Theta(\alpha_*\xi) = 0 = \Theta(0_*\xi)$ と $\alpha = h a$（$h\colon R \to N$）は同値なので、核は $a^*\colon \operatorname{Hom}(R, N) \to \operatorname{Hom}(R, N)$（$u \mapsto ua$）の像です。$\operatorname{Hom}(R, N) \cong N$（$u \mapsto u(1)$）のもとで $a^*$ は $y \mapsto ay$ なので、$\operatorname{Ext}_R(R/aR, N) \cong N/aN$ で、$y + aN$ は $u(1) = y$ となる $u$ による押し出し $u_*\xi$ の類に対応します。

5. $\operatorname{Ext}(-, N)$ と $\operatorname{Ext}(M, -)$ は加法関手で（補題 4.1 の 1）、加法関手は双積を保ちます（命題 3.7［加法圏とアーベル圏］）。

∎

4 は既存の計算（補題 3.3［コホモロジーと双対性］）と同じ結果ですが、ここでは対応する拡大まで具体的に書けています。

系 6.3（捩れ群の Ext と Q/Z への双対）✓

$A$ を捩れ Abel 群（すべての元の位数が有限）とする。$A$ について自然な同型 $\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z) \cong \operatorname{Hom}(A, \mathbb Q/\mathbb Z)$ がある。とくに $A$ が有限 Abel 群なら $\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z)$ は $A$ と（自然ではない）同型である。

証明（系 6.3）

$\eta\colon 0 \to \mathbb Z \to \mathbb Q \to \mathbb Q/\mathbb Z \to 0$ を考えます。$\mathbb Q$ は入射的で（命題 3.6［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 3）、$F_A = \operatorname{Hom}(A, -)$ は左完全です（命題 5.5［加法圏とアーベル圏］ の 1）。入射対象は $F_A$ 非輪状なので（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3）、補題 5.7［導来関手と δ 関手］ の 2 により、連結射 $\delta_{\eta, A}$ は同型

$$\operatorname{Coker}\bigl(\operatorname{Hom}(A, \mathbb Q) \to \operatorname{Hom}(A, \mathbb Q/\mathbb Z)\bigr) \cong R^1F_A(\mathbb Z) = \operatorname{Ext}^1(A, \mathbb Z)$$

を誘導します（右辺は定義 1 の $\operatorname{Ext}$）。$A$ は捩れ群なので $\operatorname{Hom}(A, \mathbb Q) = 0$ です（$ma = 0$ なら $m u(a) = 0$ で、$\mathbb Q$ では $u(a) = 0$）。よって $\delta_{\eta, A}\colon \operatorname{Hom}(A, \mathbb Q/\mathbb Z) \to \operatorname{Ext}^1(A, \mathbb Z)$ は同型です。$f\colon A \to A'$ について、補題 4.1 の 4 により $\operatorname{Ext}^1(f, \mathbb Z)\,\delta_{\eta, A'} = \delta_{\eta, A}\,\operatorname{Hom}(f, \mathbb Q/\mathbb Z)$ なので、この同型は $A$ について自然です。平衡性の同型（定理 6.2［導来関手と δ 関手］ の 2）は両変数について自然なので、定義 2 の $\operatorname{Ext}$ に移しても自然です。

$A$ が有限なら、系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ により $A \cong \bigoplus_k \mathbb Z/m_k$ と書けます。$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/m, \mathbb Q/\mathbb Z)$ は $1$ の行き先、すなわち $m$ 倍で $0$ になる $\mathbb Q/\mathbb Z$ の元全体 $\{k/m + \mathbb Z\}$ と同型で、これは $\mathbb Z/m$ と同型です。$\operatorname{Hom}(-, \mathbb Q/\mathbb Z)$ は有限直和を保つので（命題 3.7［加法圏とアーベル圏］）、$\operatorname{Hom}(A, \mathbb Q/\mathbb Z) \cong A$ です。この同型は分解の選び方に依存します。

∎

例 6.4（Z/p による Z/p の拡大を数える）

$p$ を素数とします。命題 6.2 の 4 により $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/p, \mathbb Z/p) \cong \mathbb Z/p$ で、定理 4.2 により $\mathbb Z/p$ の $\mathbb Z/p$ による拡大の同値類はちょうど $p$ 個です。

$k \in \{1, \ldots, p-1\}$ について、$E_k\colon 0 \to \mathbb Z/p \xrightarrow{i} \mathbb Z/p^2 \xrightarrow{\pi_k} \mathbb Z/p \to 0$ を $i(1) = p$、$\pi_k(1) = k$ で定めます（$\pi_k$ の核は $p\mathbb Z/p^2 = i(\mathbb Z/p)$ なので完全）。$\xi\colon 0 \to \mathbb Z \xrightarrow{p} \mathbb Z \to \mathbb Z/p \to 0$ を使って $\Theta(E_k)$ を求めます。$mk \equiv 1 \pmod p$ となる整数 $m$ をとり、$\beta\colon \mathbb Z \to \mathbb Z/p^2$ を $\beta(1) = m$ とすると、$\pi_k\beta(1) = mk \equiv 1$ なので $\beta$ は持ち上げで、$\beta(p) = pm = i(m)$ から $\alpha_{E_k}(1) = m$ です。よって $\Theta(E_k)$ は $\operatorname{Ext} \cong \mathbb Z/p$ で $k^{-1} \bmod p$ に対応します。$k \mapsto k^{-1}$ は $(\mathbb Z/p)^\times$ の全単射なので、$E_1, \ldots, E_{p-1}$ は互いに同値でない $p-1$ 個の非分裂拡大で、残りの 1 個が分裂拡大 $\mathbb Z/p \oplus \mathbb Z/p$ です。

中央の群の同型類は $\mathbb Z/p^2$ と $\mathbb Z/p \oplus \mathbb Z/p$ の 2 つしかありません。$\operatorname{Ext}$ が数えるのは中央の群の同型類ではなく、埋め込みと射影まで込めた拡大の類です。

例 6.5（Ext(Q, Z) は非可算）

系 6.3 の証明と同じく $\eta\colon 0 \to \mathbb Z \to \mathbb Q \to \mathbb Q/\mathbb Z \to 0$ と 補題 5.7［導来関手と δ 関手］ の 2 を $A = \mathbb Q$ に使うと、

$$\operatorname{Ext}(\mathbb Q, \mathbb Z) \cong \operatorname{Coker}\bigl(\operatorname{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Q) \to \operatorname{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Q/\mathbb Z)\bigr)$$

です。$\operatorname{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Q)$ の元は $1$ の行き先で決まるので（$u(k/n)$ は $n u(k/n) = k u(1)$ で決まる）、可算集合です。一方 $\operatorname{Hom}(\mathbb Q, \mathbb Q/\mathbb Z)$ は非可算です。実際 $\mathbb Q = \bigcup_n \frac{1}{n!}\mathbb Z$ なので、準同型は $x_n = u(1/n!)$ の列で決まり、列が $(n+1)x_{n+1} = x_n$ を満たせば $u(k/n!) = kx_n$ で準同型が定まります。$\mathbb Q/\mathbb Z$ は可除なので $x_n$ に対して $(n+1)y = x_n$ の解 $y$ があり、解全体は $\frac{1}{n+1}\mathbb Z/\mathbb Z$ の剰余類なので $n+1 \ge 2$ 個あります。各段で 2 通り以上の選択があるので、列は非可算個あります。可算集合の像で割った商は非可算なので、$\operatorname{Ext}(\mathbb Q, \mathbb Z)$ は非可算で、とくに $0$ ではありません。

$\mathbb Q$ は可除で自由ではなく、$\mathbb Z$ は可除ではないので、命題 6.2 の 2・3 のどちらも当てはまりません。定理 4.2 により、$\mathbb Q$ の $\mathbb Z$ による拡大の同値類は非可算個あり、分裂拡大 $\mathbb Z \oplus \mathbb Q$ の類以外の類がいくらでもあります。

例 6.6（k[x] 加群の拡大と Jordan 細胞）

$k$ を体、$R = k[x]$ とし、$\lambda \in k$ について $k_\lambda = R/(x - \lambda)$（$x$ が $\lambda$ 倍で作用する 1 次元空間）とおきます。命題 6.2 の 4 を $a = x - \lambda$ に使うと

$$\operatorname{Ext}_R(k_\lambda, k_\mu) \cong k_\mu/(x - \lambda)k_\mu = k/(\mu - \lambda)k \cong \begin{cases} k & (\lambda = \mu) \\ 0 & (\lambda \ne \mu) \end{cases}$$

です。$\lambda \ne \mu$ なら拡大 $0 \to k_\mu \to V \to k_\lambda \to 0$ はすべて分裂し、$V$ は固有値 $\mu, \lambda$ の固有ベクトルからなる基底をもちます。$\lambda = \mu$ のとき、非分裂な拡大の一つは $R/(x - \lambda)^2$ で、$x$ はある基底で Jordan 細胞 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$ として作用します。対応する $\operatorname{Ext}$ の元は、$0 \to R \xrightarrow{x - \lambda} R \to k_\lambda \to 0$ を $1 \mapsto 1$ で押し出したものです。Jordan 細胞は「同じ固有値の固有空間どうしの分裂しない拡大」で、異なる固有値は $\operatorname{Ext}$ が $0$ なので貼り合わさらない、と読めます。有限次元の $k[x]$ 加群の構造定理（定理 5.1［加群と PID 上の構造定理］）が一般化固有空間への分解を与えることの、ホモロジー代数からの説明の一つです。

注意 6.7（Whitehead の問題）

命題 6.2 の 2 により、自由 Abel 群 $A$ は $\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z) = 0$ を満たします。逆に $\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z) = 0$ なら $A$ は自由か、というのが J. H. C. Whitehead の問題です。$A$ が可算なら肯定的に答えられます。一般の場合、Shelah は、この問いが ZFC からは決まらないこと（Gödel の構成可能性公理 $V = L$ のもとでは肯定的、Martin の公理と連続体仮説の否定のもとでは否定的）を示しました（S. Shelah, “Infinite abelian groups, Whitehead problem and some constructions”, Israel Journal of Mathematics 18 (1974), 243–256。解説として P. C. Eklof, “Whitehead’s problem is undecidable”, American Mathematical Monthly 83 (1976), 775–788）。Rikai のこのテーマで足した宇宙の公理もこの問いを決めません。この章のどの証明もこの問題には依存しません。

注意 6.8（群の拡大の分類との関係）

$G$ を Abel 群、$M$ を自明な作用をもつ $G$ 加群とします。Abel 群の拡大 $0 \to M \to E \to G \to 0$ は、$E$ が可換なので共役による作用が自明になり、群のコホモロジーと群の拡大の章の意味の群の拡大（定義 5.1［群のコホモロジーと群の拡大］）になります。拡大の同値の定義はどちらも「両端で恒等的な同型」なので、$\operatorname{Ext}(G, M) = \operatorname{YExt}^1(G, M)$ は 定理 5.2［群のコホモロジーと群の拡大］ の $H^2(G, M)$ に単射で入ります。像は中央の群が可換になる拡大の類で、因子団で言えば対称な $f_s(g, h) = f_s(h, g)$ をもつ類です。$H^2(G, M)$ は可換とは限らない拡大（四元数群・二面体群など）まで数えるので、一般に $\operatorname{Ext}(G, M)$ より大きくなります。

7. 代数的 Künneth 公式と普遍係数定理

この節では、可換環論の章の下付き添字の複体（定義 2.1［Tor・Ext と深さ］。$Z_n = \operatorname{Ker} d_n$、$B_n = \operatorname{Im} d_{n+1}$、$H_n = Z_n/B_n$）を使います。$\operatorname{Tor}^R_n$ は 定義 4.1［Tor・Ext と深さ］ のもので、射影分解の取り方によりません（系 4.2［Tor・Ext と深さ］）。

定義 7.1（複体のテンソル積）↗

$R$ を可換環、$C, D$ を $R$ 加群の複体とする。複体 $C \otimes D$ を

$$(C \otimes D)_n = \bigoplus_{p+q=n} C_p \otimes_R D_q, \qquad d(x \otimes y) = dx \otimes y + (-1)^p x \otimes dy \quad (x \in C_p,\ y \in D_q)$$

で定める。鎖写像 $f\colon C \to C'$、$g\colon D \to D'$ について $(f \otimes g)(x \otimes y) = f(x) \otimes g(y)$ とおく。

$d$ は各 $C_p \times D_q$ 上で双線形な式から定まるので、テンソル積の普遍性により well-defined です。$d(d(x \otimes y)) = ddx \otimes y + (-1)^{p-1} dx \otimes dy + (-1)^p dx \otimes dy + x \otimes ddy = 0$ なので複体で、$f, g$ が鎖写像なら $f \otimes g$ も鎖写像です（次数を保つので符号が一致する）。微分が $0$ の複体 $W$ について、$W \otimes D$ の微分は $w \otimes y \mapsto (-1)^p w \otimes dy$ で、$p$ ごとの直和成分を保ちます。

定理 7.2（代数的 Künneth 公式）✓

$R$ を PID、$C$ を自由 $R$ 加群からなる複体、$D$ を $R$ 加群の複体とする。各 $n$ について、$C$ と $D$ の鎖写像（$C$ の側は自由加群の複体の間）について自然な短完全列

$$0 \to \bigoplus_{p+q=n} H_p(C) \otimes_R H_q(D) \xrightarrow{\ \kappa\ } H_n(C \otimes D) \to \bigoplus_{p+q=n-1} \operatorname{Tor}_1^R\bigl(H_p(C), H_q(D)\bigr) \to 0$$

がある。ここで $\kappa([z] \otimes [y]) = [z \otimes y]$ である。さらに、$D$ も自由加群からなるか、$D$ の微分が $0$ なら、この列は分裂する。

証明（定理 7.2）

第 1 段：$C$ の分解。 $Z_p \subseteq C_p$、$B_{p-1} \subseteq C_{p-1}$ は自由加群の部分加群なので自由です（補題 6.1）。$Z$ を $Z_p$ を並べて微分を $0$ とした複体、$B'$ を $B'_p = B_{p-1}$ として微分を $0$ とした複体とします。包含 $Z \to C$ と、$d\colon C_p \to B_{p-1} = B'_p$ はどちらも鎖写像で（$C$ の微分は $Z$ 上で $0$、$d \circ d = 0$）、各次数で $0 \to Z_p \to C_p \xrightarrow{d} B_{p-1} \to 0$ は短完全です。$B_{p-1}$ は自由なので射影的で（補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）、全射 $d$ は切断をもち、この列は分裂します（補題 2.1。$\mathsf{Mod}_R$ はアーベル圏、命題 4.6［加法圏とアーベル圏］）。

第 2 段：テンソル積の短完全列。 $- \otimes D_q$ は加法関手なので、補題 2.1 の 3 により $0 \to Z_p \otimes D_q \to C_p \otimes D_q \to B_{p-1} \otimes D_q \to 0$ は（分裂する）短完全列で、直和をとって $0 \to (Z \otimes D)_n \to (C \otimes D)_n \to (B' \otimes D)_n \to 0$ も完全です（直和の各成分で見ればよい）。射は $\iota \otimes 1$ と $d \otimes 1$ で、どちらも鎖写像です。実際 $z \in Z_p$ では $d(z \otimes y) = (-1)^p z \otimes dy$ が両方の複体で同じ式になり、$x \in C_p$ では

$$(d \otimes 1)\bigl(dx \otimes y + (-1)^p x \otimes dy\bigr) = (-1)^p dx \otimes dy = d_{B' \otimes D}(dx \otimes y)$$

です（$dx \in B'_p$ は次数 $p$）。よって複体の短完全列 $0 \to Z \otimes D \to C \otimes D \to B' \otimes D \to 0$ を得ます。

第 3 段：両端のホモロジー。 微分が $0$ で各項が平坦な複体 $W$ について、$H_n(W \otimes D) \cong \bigoplus_p W_p \otimes H_{n-p}(D)$（$w \otimes [y] \mapsto [w \otimes y]$）を示します。$W \otimes D$ の微分は $p$ ごとの直和成分を保つので、核・像・ホモロジーは成分ごとに計算でき、符号 $(-1)^p$ は核と像を変えません。各成分は列 $D_{q+1} \to D_q \to D_{q-1}$ に $W_p \otimes -$ を施したもので、$W_p$ は平坦なので、補題 4.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］（テンソル積の対称性 命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1 で左右を入れ替える）によりそのホモロジーは $W_p \otimes H_q(D)$ です。$Z_p$、$B_{p-1}$ は自由なので平坦です（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1）。よって

$$H_n(Z \otimes D) \cong \bigoplus_p Z_p \otimes H_{n-p}(D), \qquad H_n(B' \otimes D) \cong \bigoplus_p B_{p-1} \otimes H_{n-p}(D)$$

です。

第 4 段：連結射。 長完全列（補題 2.3［Tor・Ext と深さ］）

$$H_{n+1}(B' \otimes D) \xrightarrow{\partial_{n+1}} H_n(Z \otimes D) \to H_n(C \otimes D) \to H_n(B' \otimes D) \xrightarrow{\partial_n} H_{n-1}(Z \otimes D)$$

の連結射を求めます。$b \in B_{p-1}$、$y \in D_{n-p}$ を $dy = 0$ とすると、$b \otimes y$ は $B' \otimes D$ のサイクルです。$dx = b$ となる $x \in C_p$ をとると $x \otimes y$ は $b \otimes y$ の持ち上げで、$d(x \otimes y) = b \otimes y + (-1)^p x \otimes dy = b \otimes y$ は $Z \otimes D$ の元です。補題 2.3［Tor・Ext と深さ］ の連結射の記述により、$\partial_n[b \otimes y] = [b \otimes y]$ です。第 3 段の同型のもとで、$b \otimes [y]$ の形の元は $H_n(B' \otimes D)$ を生成し、$\partial_n$ は加法的なので、$\partial_n = \bigoplus_p (i_{p-1} \otimes 1)$ です。ここで $i_{p-1}\colon B_{p-1} \to Z_{p-1}$ は包含です。

第 5 段：列の切り出し。 長完全列から短完全列 $0 \to \operatorname{Coker}\partial_{n+1} \to H_n(C \otimes D) \to \operatorname{Ker}\partial_n \to 0$ が得られます。

余核。 $B_p \xrightarrow{i_p} Z_p \to H_p(C) \to 0$ は完全なので、テンソル積の右完全性（定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）により $\operatorname{Coker}(i_p \otimes 1\colon B_p \otimes H_q(D) \to Z_p \otimes H_q(D)) \cong H_p(C) \otimes H_q(D)$ です。$\partial_{n+1}$ は成分ごとの $i_p \otimes 1$（$p + q = n$）の直和なので、$\operatorname{Coker}\partial_{n+1} \cong \bigoplus_{p+q=n} H_p(C) \otimes H_q(D)$ です。$Z_p \otimes H_q(D) \to H_n(C \otimes D)$ は $z \otimes [y] \mapsto [z \otimes y]$ なので、誘導される射は $\kappa$ です。

核。 $0 \to B_{p-1} \xrightarrow{i_{p-1}} Z_{p-1} \to H_{p-1}(C) \to 0$ は自由加群による（したがって射影的な）長さ $1$ の分解なので、定義 4.1［Tor・Ext と深さ］ により、任意の $N$ について $\operatorname{Tor}_1(H_{p-1}(C), N)$ は複体 $0 \to B_{p-1} \otimes N \to Z_{p-1} \otimes N \to 0$ の次数 $1$ のホモロジー、すなわち $\operatorname{Ker}(i_{p-1} \otimes 1)$ です。よって $\operatorname{Ker}\partial_n \cong \bigoplus_p \operatorname{Tor}_1(H_{p-1}(C), H_{n-p}(D))$ で、添字を付け替えると主張の右端の項です。

第 6 段：自然性。 鎖写像 $f\colon C \to C'$（$C'$ も自由加群の複体）と $g\colon D \to D'$ は $Z \to Z'$、$B' \to B''$ を誘導し、$f \otimes g$ は第 2 段の短完全列の間の射を与えます。連結射は 補題 2.3［Tor・Ext と深さ］ の記述（持ち上げて微分をとり、部分複体の元とみる）で与えられ、この操作の各段は鎖写像と可換なので、連結射は $f \otimes g$ と可換です。余核の側の射は $H(f) \otimes H(g)$ です。核の側では、$f$ が誘導する $(B_{p-1} \to Z_{p-1}) \to (B'_{p-1} \to Z'_{p-1})$ は $H_{p-1}(f)$ の射影分解の間の持ち上げなので、誘導される射は定義により $\operatorname{Tor}_1(H(f), -)$ で（持ち上げによらない。系 4.2［Tor・Ext と深さ］）、$g$ の側は $\operatorname{Tor}_1(-, H(g)) = H_1(1 \otimes H(g))$ です。

第 7 段：分裂。 第 1 段により $Z_p$ は $C_p$ の直和因子なので、$r_p\colon C_p \to Z_p$ で $Z_p$ 上で恒等写像になるものがあります。$\phi_C\colon C \to H(C)$（$H(C)$ は微分 $0$ の複体）を $\phi_C(x) = [r_p(x)]$ で定めると、$dx \in B_{p-1} \subseteq Z_{p-1}$ なので $\phi_C(dx) = [dx] = 0$ で、$\phi_C$ は鎖写像です。$D$ が自由加群からなるときは、$D$ についても第 1 段と同じ議論で $Z_q(D)$ が $D_q$ の直和因子になるので、$Z_q(D)$ 上で恒等写像になる $r'_q\colon D_q \to Z_q(D)$ をとり、同様に $\phi_D(y) = [r'_q(y)]$ とします。$D$ の微分が $0$ のときは $Z_q(D) = D_q$、$r'_q = 1$、$\phi_D = 1$ とします。$\phi_C \otimes \phi_D\colon C \otimes D \to H(C) \otimes H(D)$ は鎖写像で、終域の微分は $0$ なので、$H_n$ をとると $\sigma\colon H_n(C \otimes D) \to \bigoplus_{p+q=n} H_p(C) \otimes H_q(D)$ が得られます。$z \in Z_p$、$y \in Z_q(D)$ について $\sigma\kappa([z] \otimes [y]) = [r_p z] \otimes [r'_q y] = [z] \otimes [y]$ で、このような元は生成するので $\sigma\kappa = 1$ です。補題 2.1 の (a) により列は分裂します。

∎

分裂は自然ではありません。$r_p$ の選び方に依存し、鎖写像と可換になるとは限らないからです。$D$ を一つの加群 $M$ だけの複体にすると、ホモロジーの普遍係数定理が得られます。

系 7.3（ホモロジーの普遍係数定理）✓

$R$ を PID、$C$ を自由 $R$ 加群からなる複体、$M$ を $R$ 加群とする。

1. 自然な短完全列 $0 \to H_n(C) \otimes M \to H_n(C \otimes M) \to \operatorname{Tor}_1^R(H_{n-1}(C), M) \to 0$ があり、これは（自然でなく）分裂する。ここで $C \otimes M$ は $C_n \otimes M$ に微分 $d \otimes 1$ を入れた複体である。
2. $M$ が捩れなしなら、あるいは $H_{n-1}(C)$ が捩れなしなら、$H_n(C \otimes M) \cong H_n(C) \otimes M$ である。

証明（系 7.3）

1. $D$ を次数 $0$ に $M$ を置き、他を $0$ とした複体とすると、$(C \otimes D)_n = C_n \otimes M$ で、微分は $d \otimes 1$ です（$D$ の微分は $0$）。$H_0(D) = M$、$q \ne 0$ で $H_q(D) = 0$ なので、定理 7.2 の列は主張の列になり、$D$ の微分が $0$ なので分裂します。

2. PID 上で捩れなしの加群は平坦です（命題 8.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1）。$M$ が平坦なら $\operatorname{Tor}_1(H_{n-1}(C), M) = 0$ です（命題 4.3［Tor・Ext と深さ］ の 2）。$H_{n-1}(C)$ が平坦なら、$\operatorname{Tor}_1(H_{n-1}(C), M) \cong \operatorname{Tor}_1(M, H_{n-1}(C))$（系 7.2［導来関手と δ 関手］ の 3）で、同じ理由で $0$ です。1 の列から主張が従います。

∎

注意 7.4（位相幾何での使われ方）

空間 $X$ の特異鎖複体は自由 Abel 群の複体なので、系 7.3 は係数 $M$ の特異ホモロジー $H_n(X; M)$ を整数係数のホモロジーから求める式になります。コホモロジー版は代数的位相幾何の普遍係数定理（定理 3.4［コホモロジーと双対性］）で、そこでは $\operatorname{Tor}$ の代わりに $\operatorname{Ext}$ が現れます。空間の積 $X \times Y$ のホモロジーに 定理 7.2 を使うには、特異鎖複体 $S(X \times Y)$ と $S(X) \otimes S(Y)$ がホモトピー同値であること（Eilenberg–Zilber の定理）が別に要ります。係数が体のときは $\operatorname{Tor}$ の項が消え、de Rham コホモロジーの Künneth の公式（系 5.7［コホモロジーと双対性］）と同じ形になります。

例 7.5（Tor の項が現れる例）

$m \ge 2$ とし、$C$ を $C_1 = \mathbb Z e$、$C_0 = \mathbb Z f$、$de = mf$ の複体とします（$H_0(C) = \mathbb Z/m$、他は $0$）。定理 7.2 により

$$H_0(C \otimes C) \cong \mathbb Z/m \otimes \mathbb Z/m \cong \mathbb Z/m, \quad H_1(C \otimes C) \cong \operatorname{Tor}_1(\mathbb Z/m, \mathbb Z/m) \cong \mathbb Z/m, \quad H_2(C \otimes C) = 0$$

です（$\operatorname{Tor}_1(\mathbb Z/m, N)$ は分解 $0 \to \mathbb Z \xrightarrow{m} \mathbb Z \to \mathbb Z/m \to 0$ から $\{x \in N \mid mx = 0\}$）。直接計算でも確かめられます。$(C \otimes C)_1$ の基底 $e \otimes f, f \otimes e$ について $d(e \otimes f) = d(f \otimes e) = m\, f \otimes f$、$d(e \otimes e) = m\, f \otimes e - m\, e \otimes f$ なので、$H_1$ は $\{(a, -a)\}$ を $\{(-mk, mk)\}$ で割った $\mathbb Z/m$ です。$C$ のホモロジーは次数 $0$ にしかないのに、テンソル積では次数 $1$ にホモロジーが現れます。これが $\operatorname{Tor}$ の項です。

8. 演習

演習 8.1標準

(1) $m, n \ge 1$ について $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/m, \mathbb Z/n) \cong \mathbb Z/\gcd(m, n)$ を示してください。(2) $\mathbb Z/4$ の $\mathbb Z/2$ による拡大 $0 \to \mathbb Z/2 \to E \to \mathbb Z/4 \to 0$ の同値類をすべて求め、それぞれの中央の群 $E$ を答えてください。

解答

(1) 命題 6.2 の 4 により $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/m, \mathbb Z/n) \cong (\mathbb Z/n)/m(\mathbb Z/n)$ です。$m(\mathbb Z/n)$ は $m$ と $n$ の最大公約数 $g$ の倍数の類全体 $g\mathbb Z/n\mathbb Z$ なので、商は $\mathbb Z/g$ です。

(2) (1) により $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/4, \mathbb Z/2) \cong \mathbb Z/2$ で、同値類は 2 つです。零元は分裂拡大で $E = \mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/4$ です。もう一つは 命題 6.2 の 4 により、$0 \to \mathbb Z \xrightarrow{4} \mathbb Z \to \mathbb Z/4 \to 0$ を $1 \mapsto 1$ で定まる $\mathbb Z \to \mathbb Z/2$ に沿って押し出したものです。押し出しは $(\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z)/\langle (1, -4) \rangle$ で、$(a, b) \mapsto 4a + b \bmod 8$ は全射 $\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z \to \mathbb Z/8$ を与え、その核は $\{(a, b) \mid b \equiv -4a \bmod 8\}$、すなわち $(1, -4)$ が生成する部分群です（$(0, 8) = -2(1, -4)$）。よって $E \cong \mathbb Z/8$ で、拡大は $0 \to \mathbb Z/2 \xrightarrow{1 \mapsto 4} \mathbb Z/8 \to \mathbb Z/4 \to 0$ です。$\mathbb Z/8$ は $\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/4$ と同型でないので、確かに分裂しません。

演習 8.2易

有限生成 Abel 群 $A$ について、$\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z)$ は $A$ の捩れ部分群（位数有限の元全体）と同型であることを示してください。とくに有限生成 Abel 群では「$\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z) = 0$ なら $A$ は自由」が成り立ちます。

解答

系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ により $A \cong \mathbb Z^r \oplus \bigoplus_k \mathbb Z/d_k$ で、捩れ部分群は $\bigoplus_k \mathbb Z/d_k$ と同型です。命題 6.2 の 5 により $\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z) \cong \operatorname{Ext}(\mathbb Z, \mathbb Z)^r \oplus \bigoplus_k \operatorname{Ext}(\mathbb Z/d_k, \mathbb Z)$ で、同じ命題の 2 により $\operatorname{Ext}(\mathbb Z, \mathbb Z) = 0$、4 により $\operatorname{Ext}(\mathbb Z/d_k, \mathbb Z) \cong \mathbb Z/d_k$ です。$\operatorname{Ext}(A, \mathbb Z) = 0$ なら捩れ部分群が $0$ で、$A \cong \mathbb Z^r$ は自由です。

演習 8.3易

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし、拡大 $E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ について、$\bar E\colon 0 \to A \xrightarrow{-i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ も拡大であり、$[\bar E] = -[E]$ であることを示してください。

解答

$-i$ も mono で、$p$ の核です（$px = 0$ なら $x = iy = (-i)(-y)$）。$(-1_A, 1_E, 1_C)$ は $E$ から $\bar E$ への拡大の射です（$1_E \circ i = (-i) \circ (-1_A)$、$p \circ 1_E = 1_C \circ p$）。補題 3.5 の 2 により $(-1_A)_*E \equiv \bar E$ で、定理 4.5 の 2 により $[(-1_A)_*E] = -[E]$ です。

演習 8.4難

$\mathcal A$ は十分に射影対象をもつとし、$E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ を拡大とします。対象 $X$ の選んだ射影分解 $P_X$ の各項は射影対象なので、$0 \to \operatorname{Hom}(P_X, A) \to \operatorname{Hom}(P_X, E) \to \operatorname{Hom}(P_X, C) \to 0$ は複体の短完全列です（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。その連結射と $\operatorname{Hom}(X, C) \cong H^0(\operatorname{Hom}(P_X, C))$ から得られる写像を $\partial_{E, X}\colon \operatorname{Hom}(X, C) \to \operatorname{Ext}^1(X, A)$ とします。$\partial_{E, C}(1_C) = -\Theta(E)$ を示してください。

解答

$\xi\colon 0 \to K \xrightarrow{j} P \xrightarrow{\pi} C \to 0$（$P$ は射影対象）をとり、定理 4.2 の証明のように $p\beta = \pi$、$\beta j = i\alpha$ となる $\beta, \alpha$ をとると、$\Theta(E) = \Theta(\alpha_*\xi) = \delta^A_\xi(\alpha)$ です（同じ定理の 1・3 と 補題 3.5 の 2）。

$\delta^A_\xi$ を計算します。$Q = P_K$（増強 $\varepsilon_K$）、$P'' = P_C$（増強 $\varepsilon_C$）とし、$J = J_\xi$ を 補題 3.3［導来関手と δ 関手］ の 2 の分解とします。$J_n = Q_n \oplus P''_n$ で、包含 $Q \to J$ と射影 $J \to P''$ は鎖写像で増強と可換なので、$J$ の微分と増強は

$$d^J_1 = \begin{pmatrix} d^Q_1 & \tau \\ 0 & d''_1 \end{pmatrix}, \qquad \varepsilon_J = (j\varepsilon_K,\ \lambda)\colon Q_0 \oplus P''_0 \to P, \qquad \pi\lambda = \varepsilon_C$$

の形をしています（$\tau\colon P''_1 \to Q_0$）。$\varepsilon_J d^J_1 = 0$ の第 2 成分から $j\varepsilon_K\tau = -\lambda d''_1$ です。補題 4.1 の 2 の証明のとおり、$\delta^A_\xi$ は $0 \to \operatorname{Hom}(P'', A) \to \operatorname{Hom}(J, A) \to \operatorname{Hom}(Q, A) \to 0$ の連結射です。$\alpha$ は次数 $0$ のコサイクル $\alpha\varepsilon_K$ で表され、その持ち上げ $\alpha\varepsilon_K\pi_1 \in \operatorname{Hom}(J_0, A)$ の微分は $\alpha\varepsilon_K\pi_1 d^J_1 = \alpha\varepsilon_K\tau\pi_2$（$\varepsilon_K d^Q_1 = 0$）で、これは $\alpha\varepsilon_K\tau \in \operatorname{Hom}(P''_1, A)$ の像です。連結射の鎖の水準の記述（補題 3.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 1。$\mathsf{Ab}$ では元で読める）により $\delta^A_\xi(\alpha) = [\alpha\varepsilon_K\tau]$ です。

一方 $\partial_{E, C}(1_C)$ では、$1_C$ はコサイクル $\varepsilon_C \in \operatorname{Hom}(P''_0, C)$ で表され、$p\beta\lambda = \pi\lambda = \varepsilon_C$ なので $\beta\lambda \in \operatorname{Hom}(P''_0, E)$ が持ち上げです。その微分は $\beta\lambda d''_1 = -\beta j\varepsilon_K\tau = -i\alpha\varepsilon_K\tau$ なので、同じ記述により $\partial_{E, C}(1_C) = [-\alpha\varepsilon_K\tau] = -\delta^A_\xi(\alpha) = -\Theta(E)$ です。

参考文献

• S. Mac Lane, Homology, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 114, Springer, 1963 — 第 III 章（拡大、Baer 和、Yoneda の Ext）、第 V 章（テンソル積・Tor・Künneth の公式）。
• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — §3.4（Ext と拡大）、§3.6（普遍係数定理と Künneth の公式）。
• P. J. Hilton, U. Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 4, Springer, 1997 — 第 III 章（加群の拡大と Ext）。
• A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 — §3.A（ホモロジーの普遍係数定理）、§3.B（Künneth の公式）。
• P. C. Eklof, “Whitehead’s problem is undecidable”, American Mathematical Monthly 83 (1976), 775–788。