拡大と拡大の同値

$A, C$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $C$ の $A$ による拡大とは、短完全列 $E\colon 0 \to A \xrightarrow{i} E \xrightarrow{p} C \to 0$ のことをいう（記号を流用して、列も中央の対象も $E$ と書く）。
2. 拡大 $E\colon 0 \to A \to E \to C' \to 0$ から $E'\colon 0 \to A' \to E' \to C \to 0$ への射とは、射の組 $(\alpha, \varphi, \gamma)$（$\alpha\colon A \to A'$、$\varphi\colon E \to E'$、$\gamma\colon C' \to C$）で $\varphi i = i'\alpha$、$p'\varphi = \gamma p$ を満たすものをいう。$(\alpha, \varphi, \gamma)$ を「$\alpha$ と $\gamma$ の上の射」ともいう。
3. 同じ $A, C$ をもつ拡大 $E, E'$ が同値であるとは、$1_A$ と $1_C$ の上の射 $(1_A, \varphi, 1_C)\colon E \to E'$ があることをいい、$E \equiv E'$ と書く。
4. 双積 $A \oplus C$ と $\iota_1, \pi_2$ による拡大 $0 \to A \to A \oplus C \to C \to 0$（補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 4）を自明な拡大という。補題 2.1 の意味で分裂する拡大を分裂拡大という。