n 拡大と Yoneda の $Ext^n$

$n \ge 1$ とし、$A, C$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $C$ の $A$ による $n$ 拡大とは、完全列 $S\colon 0 \to A \to X_n \to X_{n-1} \to \cdots \to X_1 \to C \to 0$ のことをいう。
2. 同じ $A, C$ をもつ $n$ 拡大 $S, S'$ の間の射とは、射の族 $f_k\colon X_k \to X'_k$（$1 \le k \le n$）で、$A$ と $C$ の上では恒等射として、すべての四角形が可換になるものをいう。
3. $S \approx S'$ を、$n$ 拡大の列 $S = S_0, S_1, \ldots, S_m = S'$ で、隣り合う $S_{l-1}, S_l$ の間にどちらかの向きの射があるものが存在することと定める。$\approx$ は同値関係で、その同値類全体を $\operatorname{YExt}^n(C, A)$ と書く。$\operatorname{YExt}^0(C, A) = \operatorname{Hom}(C, A)$ とおく。