数学 › 圏論・ホモロジー代数 › Ext と拡大

Abel 群の Ext の計算

命題 6.2（「Ext と拡大」§6） ・ ✓公理まで証明済み

M,NM, N を Abel 群とする。

  1. n≥2n \ge 2 で Ext⁡Zn(M,N)=0\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(M, N) = 0 である。より一般に、RR が PID なら n≥2n \ge 2 で Ext⁡Rn=0\operatorname{Ext}^n_R = 0 である。
  2. MM が自由（より一般に射影的）なら、Ext⁡(M,N)=0\operatorname{Ext}(M, N) = 0 である。すなわち MM の拡大はすべて分裂する。
  3. NN が可除なら、Ext⁡(M,N)=0\operatorname{Ext}(M, N) = 0 である。
  4. 可換環 RR と非零因子 a∈Ra \in R、RR 加群 NN について Ext⁡R(R/aR,N)≅N/aN\operatorname{Ext}_R(R/aR, N) \cong N/aN である。y+aNy + aN に対応する拡大は、0→R→aR→R/aR→00 \to R \xrightarrow{a} R \to R/aR \to 0 を 1↦y1 \mapsto y で定まる R→NR \to N に沿って押し出したものである。とくに Ext⁡(Z/n,N)≅N/nN\operatorname{Ext}(\mathbb Z/n, N) \cong N/nN（n≥1n \ge 1）である。
  5. 両変数について有限直和を保つ：Ext⁡(M1⊕M2,N)≅Ext⁡(M1,N)⊕Ext⁡(M2,N)\operatorname{Ext}(M_1 \oplus M_2, N) \cong \operatorname{Ext}(M_1, N) \oplus \operatorname{Ext}(M_2, N)、Ext⁡(M,N1⊕N2)≅Ext⁡(M,N1)⊕Ext⁡(M,N2)\operatorname{Ext}(M, N_1 \oplus N_2) \cong \operatorname{Ext}(M, N_1) \oplus \operatorname{Ext}(M, N_2)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 63 件、定義なども含めて 73 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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