数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 導来関手と δ 関手

次元ずらし

補題 5.7（「導来関手と δ 関手」§5） ・ ✓公理まで証明済み

A\mathcal A は十分に入射対象をもち、F ⁣:A→BF\colon \mathcal A \to \mathcal B は左完全とする。E ⁣:0→X→uK→vC→0E\colon 0 \to X \xrightarrow{u} K \xrightarrow{v} C \to 0 を短完全列とし、KK は FF 非輪状とする。

  1. n≥1n \ge 1 について、連結射 δEn ⁣:RnF(C)→Rn+1F(X)\delta^n_E\colon R^nF(C) \to R^{n+1}F(X) は同型である。
  2. δE0\delta^0_E は同型 Coker⁡(F(v) ⁣:F(K)→F(C))≅R1F(X)\operatorname{Coker}\bigl(F(v)\colon F(K) \to F(C)\bigr) \cong R^1F(X) を誘導する。
  3. 反変関手 G ⁣:Aop→BG\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B が左完全で A\mathcal A が十分に射影対象をもつとき、短完全列 0→K→P→C→00 \to K \to P \to C \to 0 で PP が GG 非輪状なら、n≥1n \ge 1 で RnG(K)≅Rn+1G(C)R^nG(K) \cong R^{n+1}G(C)、また R1G(C)≅Coker⁡(G(P)→G(K))R^1G(C) \cong \operatorname{Coker}(G(P) \to G(K)) である。
  4. A\mathcal A が十分に射影対象をもち FF が右完全のとき、短完全列 0→K→P→C→00 \to K \to P \to C \to 0 で PP が FF 非輪状なら、n≥1n \ge 1 で Ln+1F(C)≅LnF(K)L_{n+1}F(C) \cong L_nF(K)、また L1F(C)≅ker⁡(F(K)→F(P))L_1F(C) \cong \ker(F(K) \to F(P)) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件