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Čech コホモロジーの 0 次と 1 次

命題 3.3（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ を位相空間 $X$ の開被覆、 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。

$\check H^0(\mathfrak U, \mathcal F) = \Gamma(X, \mathcal F)$ である。
単射 $\check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F)$ があり、 $0 \to \check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F) \to \prod_{i \in I} H^1(U_i, \mathcal F)$ は完全である（右の写像は制限）。とくに、すべての $i$ で $H^1(U_i, \mathcal F) = 0$ なら $\check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \cong H^1(X, \mathcal F)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 65 件、定義なども含めて 78 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
    有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える✓補題 3.5・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 係数系の Čech 複体✓補題 3.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー（上で展開済み）
次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
  - コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
  - 馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
脆弱層は Γ 非輪状✓定理 4.4・層コホモロジー
- 入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー
  - 0 による延長と完全列✓命題 7.2・層この先をたどる →
- 脆弱層の基本性質✓補題 4.2・層コホモロジー
- 非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

Čech コホモロジーの 0 次と 1 次

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件