係数系の Čech 複体

$G$ を全順序集合 $I$ 上の係数系とする。

1. $d \circ d = 0$ である。
2. 相異なるとは限らない添字の列 $(i_0, \ldots, i_p)$ に対し、重複があれば $\alpha_{i_0 \cdots i_p} = 0$、なければ昇順に並べ替える置換の符号を掛けて $\alpha_{i_0 \cdots i_p} = \pm\alpha_{\{i_0, \ldots, i_p\}}$ と定める。このとき $d$ の定義式は、昇順とは限らない任意の列 $(i_0, \ldots, i_{p+1})$ についても成り立つ。
3. $j \in I$ があって、$j \notin \sigma$ であるすべての $\sigma$ について $\rho_{\sigma, \sigma \cup \{j\}}$ が同型であるとする。このとき $p \ge 1$ で $H^p(C^\bullet(G)) = 0$ である。