元による図式追跡の規則

$\mathcal A$ をアーベル圏とする。

1. $x \in_{\mathrm m} A$ について、$x \equiv 0$ と $x = 0$（零射）は同値である。
2. $f\colon A \to B$ について次は同値である：(a) $f$ は mono、(b) $fx \equiv 0$ なら $x \equiv 0$、(c) $fx \equiv fx'$ なら $x \equiv x'$。
3. $g\colon B \to C$ が epi であることと、任意の $z \in_{\mathrm m} C$ に対し $gy \equiv z$ となる $y \in_{\mathrm m} B$ が存在することは同値である。
4. $h\colon A \to B$ が零射であることと、すべての $x \in_{\mathrm m} A$ について $hx \equiv 0$ であることは同値である。
5. 列 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が $B$ で完全であることと、「$gf = 0$ であり、$gy \equiv 0$ を満たす任意の $y \in_{\mathrm m} B$ に対し $fx \equiv y$ となる $x \in_{\mathrm m} A$ が存在する」ことは同値である。
6. （差を取る）$g\colon B \to C$ と $x\colon X \to B$、$y\colon Y \to B$ が $gx \equiv gy$ を満たすとする。このとき epi $s\colon U \to X$、$t\colon U \to Y$ があって、$z = xs - yt\colon U \to B$ は $gz = 0$ を満たし、$hy = 0$ を満たす任意の $h\colon B \to D$ について $hz \equiv hx$ である。
7. （核への持ち上げ）$fx \equiv 0$ なら、$x = (\ker f)x'$ となる射 $x'$ がある。