0 による延長と完全列

命題 7.2（「層」§7）・ ✓公理まで証明済み

$U \subseteq X$ を開集合、 $Z = X \setminus U$ とし、 $j\colon U \to X$ 、 $i\colon Z \to X$ を包含とする。

$U$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、 $x \in U$ なら $(j_!\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_x$ 、 $x \notin U$ なら $(j_!\mathcal{G})_x = 0$ である。 $j_!\colon \mathsf{Ab}(U) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手で、 $(j_!\mathcal{G})|_U \cong \mathcal{G}$ である。
$X$ 上の層 $\mathcal{F}$ と $U$ 上の層 $\mathcal{G}$ について、自然な全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(X)}(j_!\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(U)}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_U)$ がある。すなわち $j_! \dashv j^{-1}$ である。したがって制限 $j^{-1}$ は入射対象を入射対象に写す。
$Z$ 上の層 $\mathcal{H}$ について、 $x \in Z$ なら $(i_*\mathcal{H})_x \cong \mathcal{H}_x$ 、 $x \notin Z$ なら $(i_*\mathcal{H})_x = 0$ である。 $i_*\colon \mathsf{Ab}(Z) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手である。
$X$ 上の層 $\mathcal{F}$ について、(2) で $\mathrm{id}_{\mathcal{F}|_U}$ に対応する射 $j_!(\mathcal{F}|_U) \to \mathcal{F}$ と、定理 6.3 の随伴の単位 $\mathcal{F} \to i_*(\mathcal{F}|_Z)$ は、完全列

0 \longrightarrow j_!(\mathcal{F}|_U) \longrightarrow \mathcal{F} \longrightarrow i_*(\mathcal{F}|_Z) \longrightarrow 0

をなす。

$\mathcal{O}$ 加群の層についても、 $\mathcal{O}|_U$ 加群 $\mathcal{G}$ の延長 $j_!\mathcal{G}$ は $\mathcal{O}$ 加群で、(1)、(2)、(4) は $\mathcal{O}$ 加群の圏で成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
  - パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
    表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
    米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限
  - フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
  - 集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限この先をたどる →
  - フィルター圏・順極限・逆極限定義 6.1・極限と余極限
層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
- 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏
  - 関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換この先をたどる →
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
芽の族の層✓補題 4.2・層
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層（上で展開済み）
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層（上で展開済み）
- 随伴は入射対象・射影対象を保つ✓命題 4.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
- 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
射の性質の保存✓命題 6.1・スキームの性質と射
入射的な加群の層の性質✓補題 3.3・Ext 層と Serre 双対
入射的な加群の層は脆弱✓命題 4.3・層コホモロジー

0 による延長と完全列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件