Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る

0. この記事の要点

図形を、点や線分、三角形のような単純な部品を貼り合わせて作ることがあります。この記事は、圏論の中で「どんな対象も基本部品の貼り合わせとして理解できる」ことを示し、その見方を使って、部品の上でだけ決まっている対応を全体へ自然に延ばす一般的な方法を作ります。読み終えると、図形の幾何的実現や群の誘導表現が、同じ仕組みの別々の例として見えるようになります。

• 前層 $F$ の要素の圏 $\operatorname{el}(F)$ は「$F(X)$ の元 $x$ と対象 $X$ の組」を対象とする圏です。稠密性定理は、$F$ が $\operatorname{el}(F)$ を添字とする表現可能前層 $h_X$ の余極限であることを主張します。前層は表現可能前層を貼り合わせたものです。
• 関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を $K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ に沿って $\mathcal{D}$ 全体に延ばす最良の方法が左 Kan 拡張 $\operatorname{Lan}_K F$ です。$\mathcal{C}$ が小さく $\mathcal{E}$ が余完備なら、$(\operatorname{Lan}_K F)(d) = \operatorname{colim}_{(c,\, Kc \to d)} F(c)$ という各点 Kan 拡張の公式で存在し、$\operatorname{Lan}_K$ は制限 $K^{*}$ の左随伴になります。
• 小さい圏 $\mathcal{C}$ から余完備な圏 $\mathcal{E}$ への関手 $A$ は、神経 $N_A(e) = \operatorname{Hom}(A(-), e)$ と実現 $|{-}|_A$ の随伴 $|{-}|_A \dashv N_A$ を定めます。単体的集合の幾何的実現はその典型例です。
• エンド $\int_c H(c, c)$ とコエンド $\int^{c} H(c, c)$ は「対角線上の極限・余極限」です。自然変換の集合はエンドで、前層は co-Yoneda の補題によりコエンドで書けます。エンドどうしは交換します（Fubini の定理）。
• 前層の圏 $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ は完備・余完備・デカルト閉で、篩の前層 $\Omega$ を部分対象分類子にもちます。デカルト閉とは、集合の間の写像全体の集合に当たる指数対象があることです。部分対象分類子は、集合の圏で部分集合を $\{0, 1\}$ への特性関数で表すことに当たる対象で、$\{0, 1\}$ の代わりに篩（$X$ に入る射の集まりで、前からさらに射を合成しても外へ出ないもの）を使います。集合の圏とよく似たこの構造が、層とトポスの理論の出発点です。
• 群の部分群 $H \le G$ について、表現の誘導は制限の左 Kan 拡張で、Frobenius の相互律は随伴 $\operatorname{Lan} \dashv K^{*}$ の特別な場合です。

この記事で使う事前知識

• 余極限: 図式に整合的に入ってくる射のうち、他のどの余錐もただ一通りに経由する最も普遍的なもの。→ 余極限
• コンマ圏: 関手 $K$ と対象 $d$ から作る、$Kc \to d$ という射を対象とする圏。→ コンマ圏
• 普遍射: 対象から関手への射で、同じ形の他の射がすべてそれを経由してただ一通りに書けるもの。→ 普遍射
• 充満・忠実: 関手が Hom 集合の間に引き起こす写像が全射（充満）、単射（忠実）であること。→ 充満・忠実
• 随伴: 二つの関手の間の、$\operatorname{Hom}(Fc, d) \cong \operatorname{Hom}(c, Gd)$ という自然な対応。→ 随伴
• mono: 左から消去できる射のこと（集合の圏では単射）。→ mono

1. 動機

米田の補題と表現可能関手 で、小さい圏 $\mathcal{C}$ は米田埋め込み $\mathbf{y} : \mathcal{C} \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ によって前層の圏に充満忠実に入ることを見ました。前層の圏は極限も余極限ももつ（極限と余極限）ので、$\mathcal{C}$ の対象を「貼り合わせた」ものを前層として自由に作れます。この記事の第一の主題は、逆にどの前層も表現可能前層の貼り合わせ（余極限）である、という稠密性定理です。単体的集合が標準単体 $\Delta[n]$（点・線分・三角形・四面体…にあたる基本部品）を貼り合わせたものであるのは、その特別な場合です。

すると、$\mathcal{C}$ 上の関手 $A : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を前層の圏全体に延ばすには、「貼り合わせを保つように」延ばせばよいことになります。これが Kan 拡張の考え方で、単体 $\Delta^n$ から幾何的実現 $|K|$ を作る操作、群の部分群の表現から誘導表現を作る操作、極限・余極限そのものが、すべて Kan 拡張として一つの公式で書けます。Mac Lane が「すべての概念は Kan 拡張である」と書いたのはこの普遍性のためです。

もう一つの主題は、前層の圏が集合の圏とよく似た性質をもつことです。積に関する指数 $G^{F}$ があり（デカルト閉）、部分集合を特性関数で表す $\{0, 1\}$ の役割を「篩の集合」$\Omega$ が果たします。この二つの性質をもつ圏をトポスといい、Grothendieck が層の理論の舞台として、Lawvere と Tierney が集合論の一般化として導入しました。代数幾何学の層と Grothendieck 位相は、この記事の前層の圏の上に組み立てられます。

記号は前の章までと同じです。圏はすべて局所的に小さいとし、「小さい」は 圏・関手・自然変換 で固定した宇宙 $\mathbb{U}$（公理 2.2［圏・関手・自然変換］）についての言葉です。極限・余極限は 定義 2.2［極限と余極限］、随伴は 定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］ の意味です。ここでは「集合として扱える大きさの圏が小さい圏」と読めば十分です。

2. 要素の圏と稠密性定理

定義 2.1（要素の圏）↗

$\mathcal{C}$ を圏、$F$ を $\mathcal{C}$ 上の前層とする。要素の圏 $\operatorname{el}(F)$ を次で定める。対象は組 $(X, x)$（$X \in \mathcal{C}$、$x \in F(X)$）、$(Y, y)$ から $(X, x)$ への射は $F(f)(x) = y$ を満たす $\mathcal{C}$ の射 $f : Y \to X$、合成と恒等射は $\mathcal{C}$ のものとする。$(X, x) \mapsto X$ で定まる関手を $\pi_F : \operatorname{el}(F) \to \mathcal{C}$ と書く。

$F(gf) = F(f)F(g)$ なので、$F(g)(x) = y$、$F(f)(y) = z$ なら $F(gf)(x) = z$ で、合成は well-defined です。$\mathcal{C}$ が小さいとき、$\operatorname{Ob}\operatorname{el}(F)$ は $\bigsqcup_{X} F(X)$ と、射の集合は $\operatorname{Ob}\operatorname{el}(F) \times \operatorname{Ob}\operatorname{el}(F) \times \operatorname{Mor}\mathcal{C}$ の部分集合と同一視できるので（同じ $f$ が異なる対象の組の間の射になりうるので、始点と終点の組を添えておく）、$\operatorname{el}(F)$ は小さい圏です（命題 2.3［圏・関手・自然変換］）。

定理 3.1［米田の補題と表現可能関手］ により $x \in F(X)$ は自然変換 $\alpha^{x} : h_X \Rightarrow F$ と同じものなので、$\operatorname{el}(F)$ は「表現可能前層から $F$ への射」の圏、すなわちコンマ圏 $(\mathbf{y} \downarrow F)$（定義 7.1［圏・関手・自然変換］）と同じものです。たとえば群 $G$ の圏 $\mathbf{B}G$ 上の前層（右 $G$ 集合 $S$）について、$\operatorname{el}(S)$ は $S$ の元を対象とし、$s \cdot g = s'$ のとき $s'$ から $s$ への射 $g$ をもつ亜群です（作用亜群）。

定理 2.2（稠密性定理）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$F$ を $\mathcal{C}$ 上の前層とする。図式 $\mathbf{y}\pi_F : \operatorname{el}(F) \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$、$(X, x) \mapsto h_X$ と、余錐 $\alpha^{x} : h_X \Rightarrow F$（$\alpha^{x}_W(u) = F(u)(x)$）について、$(F, (\alpha^{x})_{(X, x)})$ は $\mathbf{y}\pi_F$ の余極限である。すなわち

$$F \;\cong\; \operatorname*{colim}_{(X, x) \in \operatorname{el}(F)} h_X .$$

証明（定理 2.2）

余錐であること. $f : (Y, y) \to (X, x)$ について $\alpha^{x} \circ h_f = \alpha^{y}$ を示す。$u : W \to Y$ について $(\alpha^{x} \circ h_f)_W(u) = F(fu)(x) = F(u)(F(f)(x)) = F(u)(y) = \alpha^{y}_W(u)$。

普遍性. 前層 $G$ を任意にとり、写像

$$\Theta_G : \operatorname{Nat}(F, G) \to \{\mathbf{y}\pi_F \text{ 下の余錐で頂点 } G\}, \qquad \tau \mapsto (\tau \circ \alpha^{x})_{(X, x)}$$

が全単射であることを示す。定理 3.1［米田の補題と表現可能関手］ により、自然変換 $\beta : h_X \Rightarrow G$ は元 $\theta(\beta) = \beta_X(\mathrm{id}_X) \in G(X)$ と 1 対 1 に対応し、その自然性から $\theta(\beta \circ h_f) = G(f)(\theta(\beta))$ である。したがって余錐 $(\beta_{(X, x)})$ は、元の族 $g_{(X, x)} = \theta(\beta_{(X, x)}) \in G(X)$ で、すべての $f : (Y, y) \to (X, x)$ について

$$G(f)(g_{(X, x)}) = g_{(Y, F(f)(x))}$$

を満たすものと 1 対 1 に対応する。各 $X$ で写像 $\tau_X : F(X) \to G(X)$、$x \mapsto g_{(X, x)}$ を考えると、この条件は $G(f) \circ \tau_X = \tau_Y \circ F(f)$、すなわち $\tau$ の自然性そのものである。こうして余錐と自然変換 $F \Rightarrow G$ が 1 対 1 に対応する。この対応で $\tau$ に対応する余錐は $\theta(\tau \circ \alpha^{x}) = \tau_X(\alpha^{x}_X(\mathrm{id}_X)) = \tau_X(x)$（再び 定理 3.1［米田の補題と表現可能関手］ の自然性）から $(\tau \circ \alpha^{x})$ で、$\Theta_G$ に一致する。

$\Theta_G$ は $G$ について自然（$\sigma : G \Rightarrow G'$ との合成と可換）なので、$(F, \alpha)$ は余錐の関手の普遍元、すなわち余極限である（命題 4.2［米田の補題と表現可能関手］、定義 2.2［極限と余極限］）。$\operatorname{el}(F)$ は小さいので、これは小さい余極限である。

∎

証明の中身は「自然変換 $F \Rightarrow G$ は、$F$ の各元の行き先を $G$ の元として、引き戻しと両立するように決めることだ」という観察です。米田の補題が「$h_X$ からの射は $\mathrm{id}_X$ の行き先で決まる」と言っていたのを、$F$ のすべての元について同時に使っています。

$\mathcal{C} = \Delta$（順序数 $[n]$ と単調写像の圏）のとき、前層は単体的集合（定義 7.1［特異ホモロジー］）で、$h_{[n]}$ は標準 $n$ 単体 $\Delta[n]$ です。稠密性定理は、単体的集合 $K$ が「各 $n$ 単体 $x \in K_n$ ごとの $\Delta[n]$ を、面・退化の関係で貼り合わせたもの」であることを言っています。

3. Kan 拡張

3.1. 定義

関手 $K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ について、$K^{*} : [\mathcal{D}, \mathcal{E}] \to [\mathcal{C}, \mathcal{E}]$ を $K^{*}G = GK$、$K^{*}\sigma = \sigma K$（成分 $\sigma_{Kc}$。定義 5.3［圏・関手・自然変換］ の記号）で定めます。垂直合成が成分ごとなので $K^{*}$ は関手です。これを制限（$K$ に沿った引き戻し）と呼びます。

関手 $F$ が $\mathcal{C}$ の上でしか決まっていないとき、$K$ で $\mathcal{C}$ を含む大きな圏 $\mathcal{D}$ の全体へ $F$ を延ばしたい、というのが Kan 拡張の動機です。延ばし方は一通りではないので、「$K$ の像の上では $F$ と比べられ、他のどの延ばし方へもただ一通りに写る」ものを最良の延ばし方として選びます。下の定義の $\sigma K$ は、$\mathcal{D}$ 全体での比較 $\sigma$ を $K$ の像の上だけに制限したもので、それに $\eta$ を合成すると $F$ から $GK$ への比較ができます。

定義 3.1（左 Kan 拡張・右 Kan 拡張・各点 Kan 拡張）↗

関手 $K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ について、

1. 関手 $L : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ と自然変換 $\eta : F \Rightarrow LK$ の組が $F$ の $K$ に沿った左 Kan 拡張であるとは、任意の関手 $G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ について、写像

$$\operatorname{Nat}(L, G) \to \operatorname{Nat}(F, GK), \qquad \sigma \mapsto \sigma K \circ \eta$$

が全単射であることをいう。すなわち $(L, \eta)$ は $F$ から関手 $K^{*}$ への普遍射（定義 4.5［米田の補題と表現可能関手］）である。$L$ を $\operatorname{Lan}_K F$ と書く。 2. 双対的に、組 $(R, \varepsilon : RK \Rightarrow F)$ で、任意の $G$ について $\operatorname{Nat}(G, R) \to \operatorname{Nat}(GK, F)$、$\sigma \mapsto \varepsilon \circ \sigma K$ が全単射であるものを右 Kan 拡張といい、$R$ を $\operatorname{Ran}_K F$ と書く。 3. $d \in \mathcal{D}$ について、コンマ圏 $(K \downarrow d)$（対象は組 $(c, u : Kc \to d)$、射 $(c, u) \to (c', u')$ は $u' \circ K(f) = u$ を満たす $f : c \to c'$）と射影 $P_d : (K \downarrow d) \to \mathcal{C}$ を考える。左 Kan 拡張 $(L, \eta)$ が各点左 Kan 拡張であるとは、各 $d$ で、余錐 $(L(u) \circ \eta_c)_{(c, u)} : FP_d \Rightarrow \Delta L(d)$ が $FP_d$ の余極限であることをいう。各点右 Kan 拡張は、$(d \downarrow K)$ 上の極限を使って双対的に定める。

$\mathcal{D}$ が大きいと $\operatorname{Nat}(L, G)$ は小さい集合とは限りませんが、定義は集合の間の全単射として意味をもちます（$[\mathcal{D}, \mathcal{E}]$ はつねに圏です。命題 5.4［圏・関手・自然変換］ の 1）。左 Kan 拡張は普遍射なので、存在すれば一意な同型を除いて一意です（命題 4.6［米田の補題と表現可能関手］）。

左 Kan 拡張。$F$ を $K$ に沿って延ばした $L={\mathrm{Lan}}_{K}F$ と 2 射 $\eta :F\Rightarrow LK$（左）。各点の公式では、$L(d)$ は「$d$ に $K$ の像から入ってくる射 $u:Kc\to d$」すべてにわたる $F(c)$ の余極限になる（右）。

例 3.2（極限・余極限は Kan 拡張）

$\mathbf{1}$ を対象 1 つ・恒等射だけの圏とし、$K = {!} : J \to \mathbf{1}$ を唯一の関手とします。関手 $G : \mathbf{1} \to \mathcal{E}$ は対象 $e$ と同じもので、$GK = \Delta e$ は定数関手です。したがって $D : J \to \mathcal{E}$ の左 Kan 拡張 $(L, \eta)$ は、対象 $L(\ast)$ と余錐 $\eta : D \Rightarrow \Delta L(\ast)$ で、任意の余錐 $D \Rightarrow \Delta e$ がただ一つの射 $L(\ast) \to e$ を経由するもの、すなわち $D$ の余極限です。同様に右 Kan 拡張は極限です。コンマ圏 $({!} \downarrow \ast)$ は $J$ そのものなので、この Kan 拡張はつねに各点 Kan 拡張です。

3.2. 各点 Kan 拡張の公式

次の定理は、延ばした先の値 $L(d)$ を具体的に計算する公式です。$d$ ごとに、$d$ へ入ってくる射 $u : Kc \to d$ を全部集め、それぞれに $F(c)$ を割り当てて、その余極限をとります。証明は、(1) $L$ を射の上へ延ばす、(2) $\eta$ を作る、(3) 定義の全単射を確かめる、の順に進みます。

定理 3.3（各点 Kan 拡張の公式）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$\mathcal{D}$ を局所的に小さい圏、$K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を関手とし、各 $d \in \mathcal{D}$ について図式 $FP_d : (K \downarrow d) \to \mathcal{E}$ が余極限 $(L(d), (\iota^{d}_{(c, u)})_{(c, u)})$ をもつとする（たとえば $\mathcal{E}$ が余完備ならつねにそうである）。このとき次が成り立つ。

1. 射 $v : d \to d'$ に、すべての $(c, u)$ で $L(v) \circ \iota^{d}_{(c, u)} = \iota^{d'}_{(c, vu)}$ を満たすただ一つの射 $L(v)$ を対応させると、$L : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ は関手である。
2. $\eta_c = \iota^{Kc}_{(c, \mathrm{id}_{Kc})} : F(c) \to LK(c)$ は自然変換 $\eta : F \Rightarrow LK$ を定め、$(L, \eta)$ は $F$ の $K$ に沿った各点左 Kan 拡張である。
3. 自然変換 $\tau : F \Rightarrow GK$ に対応する $\sigma : L \Rightarrow G$ は、$\sigma_d \circ \iota^{d}_{(c, u)} = G(u) \circ \tau_c$ で特徴づけられる。

双対的に、図式 $(d \downarrow K) \to \mathcal{E}$ がすべて極限をもてば（たとえば $\mathcal{E}$ が完備なら）、各点右 Kan 拡張が極限の公式で存在する。

証明（定理 3.3）

$(K \downarrow d)$ の対象は $\bigsqcup_{c} \operatorname{Hom}(Kc, d)$ の元で、射は始点・終点の組と $\operatorname{Mor}\mathcal{C}$ の元の組で表されるので、$(K \downarrow d)$ は小さい（命題 2.3［圏・関手・自然変換］）。余極限の選択には選択公理（公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）を $\operatorname{Ob}\mathcal{D}$ 上で使う。

1. $v : d \to d'$ について、$(c, u) \mapsto (c, vu)$ は関手 $(K \downarrow d) \to (K \downarrow d')$ で（$u' K(f) = u$ なら $vu' K(f) = vu$）、$(\iota^{d'}_{(c, vu)})_{(c, u)}$ は $FP_d$ 下の余錐である。余極限の普遍性から $L(v)$ がただ一つ定まる。$L(\mathrm{id}) = \mathrm{id}$、$L(v'v) = L(v')L(v)$ は、両辺がどの $\iota^{d}_{(c, u)}$ との合成でも一致すること（$\iota^{d''}_{(c, v'vu)}$）と、余極限からの射の一意性から従う。

2. 自然性：$f : c \to c'$ について、$f$ は $(K \downarrow Kc')$ の射 $(c, K(f)) \to (c', \mathrm{id})$ なので、余錐の条件から $\iota^{Kc'}_{(c', \mathrm{id})} F(f) = \iota^{Kc'}_{(c, K(f))}$。一方 1 から $LK(f) \circ \iota^{Kc}_{(c, \mathrm{id})} = \iota^{Kc'}_{(c, K(f))}$。よって $\eta_{c'} F(f) = LK(f)\eta_c$。また $L(u)\eta_c = L(u)\iota^{Kc}_{(c, \mathrm{id})} = \iota^{d}_{(c, u)}$ なので、余錐 $(L(u)\eta_c)$ は余極限 $\iota^{d}$ そのものであり、各点の条件が成り立つ。

普遍性（3 を含む）. 関手 $G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ を固定し、$\Psi(\sigma) = \sigma K \circ \eta$ が全単射であることを示す。$\tau : F \Rightarrow GK$ が与えられたとき、族 $(G(u)\tau_c)_{(c, u)}$ は $FP_d$ 下の余錐である。実際 $f : (c, u) \to (c', u')$ について、$\tau$ の自然性と $u'K(f) = u$ から

$$G(u')\tau_{c'}F(f) = G(u')GK(f)\tau_c = G(u)\tau_c .$$

よって $\sigma_d \iota^{d}_{(c, u)} = G(u)\tau_c$ となる $\sigma_d : L(d) \to G(d)$ がただ一つある。$v : d \to d'$ について、$G(v)\sigma_d$ と $\sigma_{d'}L(v)$ を $\iota^{d}_{(c, u)}$ と合成するとどちらも $G(vu)\tau_c$ になるので、余極限からの射の一意性から等しく、$\sigma$ は自然変換である。$\Psi(\sigma)_c = \sigma_{Kc}\iota^{Kc}_{(c, \mathrm{id})} = \tau_c$ なので $\Psi$ は全射。

単射を示す。$\sigma : L \Rightarrow G$ を任意にとり $\tau = \Psi(\sigma)$ とおく。$u : Kc \to d$ について、$\sigma$ の自然性と 2 の計算から

$$\sigma_d\, \iota^{d}_{(c, u)} = \sigma_d L(u)\eta_c = G(u)\sigma_{Kc}\eta_c = G(u)\tau_c .$$

すなわち $\sigma$ は $\tau$ から上の構成で一意に決まる。よって $\Psi$ は単射で、逆写像は 3 の式で与えられる。

右 Kan 拡張は $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$、$\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$、$\mathcal{E}^{\mathrm{op}}$ に適用する。

∎

各点の公式は、「$L(d)$ は、$d$ を $K$ の像で近似したときの $F$ の値の余極限」と読めます。$K$ が充満埋め込みなら、$d$ がもともと $K$ の像にあるときは何も新しいものは足されないはずで、それを述べたのが 3.3 節の 命題 3.6 です。

系 3.4（制限の左随伴と右随伴）✓

$\mathcal{C}, \mathcal{D}$ を小さい圏、$\mathcal{E}$ を局所的に小さい余完備な圏、$K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を関手とする。このとき制限 $K^{*} : [\mathcal{D}, \mathcal{E}] \to [\mathcal{C}, \mathcal{E}]$ は左随伴 $\operatorname{Lan}_K$ をもち、各 $F$ について $\operatorname{Lan}_K F$ は 定理 3.3 の各点 Kan 拡張で与えられる。$\mathcal{E}$ が完備なら、$K^{*}$ は右随伴 $\operatorname{Ran}_K$ をもつ。

証明（系 3.4）

命題 5.4［圏・関手・自然変換］ の 2 により $[\mathcal{D}, \mathcal{E}]$、$[\mathcal{C}, \mathcal{E}]$ は局所的に小さい。定理 3.3 により、各 $F \in [\mathcal{C}, \mathcal{E}]$ について $(\operatorname{Lan}_K F, \eta^{F})$ は $F$ から $K^{*}$ への普遍射である（定義 3.1 の 1）。定理 2.7［随伴関手と随伴関手定理］ により $F \mapsto \operatorname{Lan}_K F$ は関手に延び、$\operatorname{Lan}_K \dashv K^{*}$ である。右随伴は双対である。

∎

定理 3.1［随伴関手と随伴関手定理］ と合わせると、$K^{*}$ は（$\mathcal{E}$ が完備・余完備なら）極限と余極限をともに保ちます。これは関手圏の極限・余極限が各点で計算できること（命題 5.1［極限と余極限］）からも直接分かります。

3.3. 充満忠実な関手に沿った拡張と随伴

添字の圏が終対象をもつとき、余極限は終対象での値になります。この単純な事実を補題にしておきます。

補題 3.5（終対象をもつ添字圏の余極限）✓

小さい圏 $J$ が終対象 $t$ をもつとし、$!_j : j \to t$ を唯一の射とする。図式 $D : J \to \mathcal{E}$ について、$(D(t), (D(!_j))_j)$ は $D$ の余極限である。とくに $D$ の任意の余極限 $(L, \iota)$ について $\iota_t : D(t) \to L$ は同型である。

証明（補題 3.5）

$a : i \to j$ について $!_j \circ a = {!_i}$（終対象への射は一つ）なので $D(!_j)D(a) = D(!_i)$ で、余錐である。余錐 $\mu$ に対し $g = \mu_t$ とおくと、余錐の条件を射 $!_j$ に使って $\mu_t D(!_j) = \mu_j$。逆に $g'D(!_j) = \mu_j$ がすべての $j$ で成り立てば、$j = t$（$!_t = \mathrm{id}_t$）として $g' = \mu_t$。よって余極限である。後半：命題 2.3［極限と余極限］ の 1（の双対）により、$u D(!_j) = \iota_j$ を満たす同型 $u : D(t) \to L$ があり、$j = t$ とすれば $u = \iota_t$ である。

∎

命題 3.6（充満忠実な関手に沿った各点 Kan 拡張）✓

$K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を充満忠実な関手、$(L, \eta)$ を $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ の $K$ に沿った各点左 Kan 拡張とする。このとき $\eta : F \Rightarrow LK$ は自然同型である。各点右 Kan 拡張 $(R, \varepsilon)$ についても $\varepsilon : RK \Rightarrow F$ は自然同型である。

証明（命題 3.6）

$c \in \mathcal{C}$ について、$(c, \mathrm{id}_{Kc})$ がコンマ圏 $(K \downarrow Kc)$ の終対象であることを示す。対象 $(c', u : Kc' \to Kc)$ から $(c, \mathrm{id})$ への射は $\mathrm{id} \circ K(f) = u$ を満たす $f : c' \to c$ であり、$K$ が充満なのでそのような $f$ があり、忠実なのでただ一つである。

各点 Kan 拡張の定義（定義 3.1 の 3）により、$(LKc, (L(u)\eta_{c'})_{(c', u)})$ は $FP_{Kc}$ の余極限で、終対象 $(c, \mathrm{id})$ での成分は $L(\mathrm{id})\eta_c = \eta_c$ である。補題 3.5 により $\eta_c$ は同型で、命題 5.2［圏・関手・自然変換］ から $\eta$ は自然同型である。右 Kan 拡張は双対である。

∎

たとえば $\mathbf{y}$ は充満忠実なので（系 3.3［米田の補題と表現可能関手］）、$\mathcal{C}$ 上の関手を $\mathbf{y}$ に沿って各点 Kan 拡張したものは、表現可能前層の上では元の関手に戻ります。次の節の実現関手がその例です。充満忠実性を外すとこの主張は成り立ちません（演習 8.1）。

命題 3.7（随伴は Kan 拡張である）✓

$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ が随伴 $F \dashv G$ で、単位を $\eta$、余単位を $\varepsilon$ とする。このとき $(G, \eta : \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow GF)$ は恒等関手 $\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}$ の $F$ に沿った左 Kan 拡張であり、$(F, \varepsilon : FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}})$ は恒等関手 $\mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ の $G$ に沿った右 Kan 拡張である。とくに左随伴は $F \cong \operatorname{Ran}_G \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$、右随伴は $G \cong \operatorname{Lan}_F \mathrm{Id}_{\mathcal{C}}$ と表せる。

証明（命題 3.7）

単位と余単位は三角等式 $\varepsilon F \circ F\eta = \mathrm{id}_F$、$G\varepsilon \circ \eta G = \mathrm{id}_G$ を満たす（定義 2.2［随伴関手と随伴関手定理］、定理 2.3［随伴関手と随伴関手定理］）。関手 $H : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ について

$$\Psi : \operatorname{Nat}(G, H) \to \operatorname{Nat}(\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}, HF),\ \sigma \mapsto \sigma F \circ \eta, \qquad \Psi' : \tau \mapsto H\varepsilon \circ \tau G$$

が互いに逆であることを示す（$\tau G : G \Rightarrow HFG$、$H\varepsilon : HFG \Rightarrow H$）。

$\Psi'\Psi(\sigma)_d = H(\varepsilon_d)\,\sigma_{FGd}\,\eta_{Gd}$ である。$\sigma$ の自然性を射 $\varepsilon_d : FGd \to d$ に適用すると $H(\varepsilon_d)\sigma_{FGd} = \sigma_d\, G(\varepsilon_d)$ なので、第 2 の三角等式から $\Psi'\Psi(\sigma)_d = \sigma_d\, G(\varepsilon_d)\eta_{Gd} = \sigma_d$。

$\Psi\Psi'(\tau)_c = H(\varepsilon_{Fc})\,\tau_{GFc}\,\eta_c$ である。$\tau : \mathrm{Id} \Rightarrow HF$ の自然性を射 $\eta_c$ に適用すると $\tau_{GFc}\eta_c = HF(\eta_c)\tau_c$ なので、第 1 の三角等式から $\Psi\Psi'(\tau)_c = H(\varepsilon_{Fc}F(\eta_c))\tau_c = \tau_c$。

$\Psi'(\tau)$ が自然変換であることは、自然変換の水平合成・垂直合成がまた自然変換であること（命題 5.5［圏・関手・自然変換］、命題 5.4［圏・関手・自然変換］）による。よって $(G, \eta)$ は左 Kan 拡張である。後半は、$F \dashv G$ が $G^{\mathrm{op}} \dashv F^{\mathrm{op}}$（単位は $\varepsilon$ の反対）と同じことであることに注意して、前半を反対圏に適用する。

∎

この命題は「随伴は、関手を可能な限り良く逆に近づけたもの」という見方を与えます。圏同値の擬逆が両側からの Kan 拡張になるのはその極端な場合です。

4. 神経と実現

稠密性定理によれば、前層は表現可能前層の余極限です。そこで関手 $A : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ が与えられると、「$h_X$ を $A(X)$ に送り、余極限を保つ」ように前層の圏から $\mathcal{E}$ への関手を作れるはずです。

次の定理は、この考え方を実際に実行します。各前層 $F$ に対して $A$ の値を要素の圏にわたって貼り合わせたものを実現 $|F|_A$ とし、その向きに戻す関手が神経 $N_A$ です。証明の 1 で随伴の全単射を余錐の言葉で確かめ、2 でそれを関手に延ばし、3 で表現可能前層の上では $A$ に戻ることを確かめます。

定理 4.1（神経と実現の随伴）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$\mathcal{E}$ を局所的に小さい余完備な圏、$A : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を関手とする。$e \in \mathcal{E}$ に前層 $N_A(e) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(A(-), e)$ を、射 $k : e \to e'$ に $N_A(k) = k \circ (-)$ を対応させる関手 $N_A : \mathcal{E} \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ を $A$ の神経という。各前層 $F$ に余極限

$$|F|_A = \operatorname*{colim}_{(X, x) \in \operatorname{el}(F)} A(X), \qquad \iota^{F}_{(X, x)} : A(X) \to |F|_A$$

を選ぶ。

1. $\Phi_{F, e} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(|F|_A, e) \to \operatorname{Nat}(F, N_A e)$、$\Phi(g)_X(x) = g \circ \iota^{F}_{(X, x)}$ は全単射で、$e$ について自然である。
2. $F \mapsto |F|_A$ は、自然変換 $\tau : F \Rightarrow F'$ を $|\tau| \circ \iota^{F}_{(X, x)} = \iota^{F'}_{(X, \tau_X(x))}$ を満たすただ一つの射に送る関手（実現）に延び、$|{-}|_A \dashv N_A$ で、随伴の全単射は $\Phi$ である。
3. $\iota^{h_X}_{(X, \mathrm{id}_X)} : A(X) \to |h_X|_A$ は同型で、$X$ について自然である。すなわち $|{-}|_A \circ \mathbf{y} \cong A$。

証明（定理 4.1）

$N_A(e)$ は Hom 双関手（命題 4.4［圏・関手・自然変換］）と $A$ の合成なので前層で、$N_A$ は関手である。$\operatorname{el}(F)$ は小さいので $|F|_A$ は存在し、各 $F$ での余極限の選択には選択公理（公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）を使う。

1. $\Phi(g)$ が自然変換であること：$f : Y \to X$ は $\operatorname{el}(F)$ の射 $(Y, F(f)(x)) \to (X, x)$ なので、余錐の条件から $\iota^{F}_{(X, x)}A(f) = \iota^{F}_{(Y, F(f)(x))}$。よって

$$N_A(e)(f)\bigl(\Phi(g)_X(x)\bigr) = g\,\iota^{F}_{(X, x)}A(f) = g\,\iota^{F}_{(Y, F(f)(x))} = \Phi(g)_Y(F(f)(x)).$$

全単射であること：余極限の定義から $g \mapsto (g\iota^{F}_{(X, x)})$ は $\operatorname{Hom}(|F|_A, e)$ と $A\pi_F$ 下の余錐の間の全単射である。余錐とは族 $(g_{(X, x)} : A(X) \to e)$ で $g_{(X, x)}A(f) = g_{(Y, F(f)(x))}$ を満たすものであり、$g_{(X, x)} \in N_A(e)(X)$ と見れば、これは写像 $x \mapsto g_{(X, x)}$ が自然変換 $F \Rightarrow N_A e$ であるという条件と同じである。合成が $\Phi$ である。$e$ についての自然性は $\Phi(kg)_X(x) = k\,g\,\iota^{F}_{(X, x)} = (N_A(k) \circ \Phi(g))_X(x)$ から従う。

2. $e$ についての自然性から $\Phi(g) = N_A(g) \circ \Phi(\mathrm{id}_{|F|_A})$ なので、1 の全単射性は、$(|F|_A, \Phi(\mathrm{id}))$ が $F$ から $N_A$ への普遍射であることを言っている。$\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ は局所的に小さい（命題 5.4［圏・関手・自然変換］）ので、定理 2.7［随伴関手と随伴関手定理］ により $F \mapsto |F|_A$ は関手に延びて $|{-}|_A \dashv N_A$ となり、$|\tau|$ は $N_A(|\tau|) \circ \Phi(\mathrm{id}) = \Phi(\mathrm{id}) \circ \tau$ で特徴づけられる。この式を $x \in F(X)$ で評価すると $|\tau|\iota^{F}_{(X, x)} = \iota^{F'}_{(X, \tau_X(x))}$ になる。随伴の全単射は 定理 2.3［随伴関手と随伴関手定理］ の $\varphi(g) = N_A(g) \circ \Phi(\mathrm{id}) = \Phi(g)$ である。

3. $\operatorname{el}(h_X)$ で、$(X, \mathrm{id}_X)$ は終対象である。実際 $(Y, u)$（$u : Y \to X$）からの射は $h_X(f)(\mathrm{id}_X) = f = u$ を満たす $f$、すなわち $u$ ただ一つである。補題 3.5 により $\iota^{h_X}_{(X, \mathrm{id})}$ は同型である。自然性：$f : X \to X'$ について、2 により $|h_f|\,\iota^{h_X}_{(X, \mathrm{id})} = \iota^{h_{X'}}_{(X, f)}$。$f$ は $\operatorname{el}(h_{X'})$ の射 $(X, f) \to (X', \mathrm{id})$ なので、余錐の条件から $\iota^{h_{X'}}_{(X, f)} = \iota^{h_{X'}}_{(X', \mathrm{id})}A(f)$。よって $|h_f| \circ \iota^{h_X}_{(X, \mathrm{id})} = \iota^{h_{X'}}_{(X', \mathrm{id})} \circ A(f)$ である。

∎

$\operatorname{el}(F)$ はコンマ圏 $(\mathbf{y} \downarrow F)$ と同じものだったので、$|F|_A$ の定義は 定理 3.3 の公式で $A$ を $\mathbf{y}$ に沿って延ばしたもの $\operatorname{Lan}_{\mathbf{y}}A$ と同じ形をしています。3 は、その拡張が表現可能前層の上で $A$ に戻ること（命題 3.6 の状況）を確かめたものです。

例 4.2（単体的集合の幾何的実現）

$\mathcal{C} = \Delta$（対象 $[n]$、$n \ge 0$、射は単調写像）とし、$A : \Delta \to \mathsf{Top}$ を標準 $n$ 単体 $A([n]) = \Delta^{n}$、$A(\theta) = \theta_*$ とします。$\Delta$ は小さく、$\mathsf{Top}$ は余完備です（定理 4.1［極限と余極限］）。$\Delta$ 上の前層は単体的集合（定義 7.1［特異ホモロジー］）で、神経 $N_A(X)_n = \operatorname{Hom}(\Delta^{n}, X)$、$\theta^{*}\sigma = \sigma \circ \theta_*$ は特異単体的集合 $\operatorname{Sing}X$ そのものです。定理 4.1 は随伴 $|{-}|_A \dashv \operatorname{Sing}$ を与えます。

一方 随伴関手と随伴関手定理 では、商空間 $\bigsqcup_n K_n \times \Delta^{n}/{\sim}$ として定義した幾何的実現（定義 7.4［特異ホモロジー］）について $|{-}| \dashv \operatorname{Sing}$ を示しました（命題 7.1［随伴関手と随伴関手定理］）。左随伴は一意なので（命題 2.5［随伴関手と随伴関手定理］）、二つの実現は自然に同型です。商空間の構成は、余極限 $\operatorname{colim}_{\operatorname{el}(K)} \Delta^{n}$ を 定理 3.1［極限と余極限］ のとおり余積と余等化子で書き下したものになっています。また 定理 4.1 の 3 は、$|\Delta[n]| \cong \Delta^{n}$（命題 7.6［特異ホモロジー］）の一般形です。

注意 4.3（圏の神経）

$A : \Delta \to \mathsf{Cat}$ を、$[n]$ を順序集合の圏 $[n]$ に送る関手とすると、神経 $N_A(\mathcal{D})_n$ は関手 $[n] \to \mathcal{D}$、すなわち合成可能な $n$ 本の射の列 $X_0 \to X_1 \to \cdots \to X_n$ の集合で、これを圏 $\mathcal{D}$ の神経といいます。群 $G$ の圏 $\mathbf{B}G$ の神経は、特異ホモロジー の例で扱った群の脈体です。$\mathsf{Cat}$ が余完備であることを示せば、定理 4.1 から神経の左随伴（単体的集合から圏を作る関手）も得られますが、このテーマでは使わないので扱いません。圏の神経をとる関手は充満忠実で、その像は「内部の角（inner horn）からの射がただ一通りに単体へ延びる」単体的集合として特徴づけられます。これが擬圏（∞ 圏のモデル）の出発点で、高次圏論のテーマで扱う題材です。

5. エンドとコエンド

自然変換 $\alpha : F \Rightarrow G$ は族 $(\alpha_c)_c \in \prod_c \operatorname{Hom}(Fc, Gc)$ で、自然性という「対角線上の整合性」を満たすものでした。これを一般化したのがエンドです。

自然変換は、各対象 $c$ での射 $Fc \to Gc$ を並べたもので、その対角線上の成分だけが条件に現れます。エンドはこの形を一般の双関手に広げたもので、$H(c, c')$ を縦横に並べた表の対角線 $H(c, c)$ の上の値を、射 $f : c \to c'$ で横に動かした値と縦に動かした値が一致するように選んだものです。

定義 5.1（楔・エンド・コエンド・関手のテンソル積）↗

$H : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を双関手とする。

1. $e \in \mathcal{E}$ を頂点とする $H$ への楔とは、射の族 $\omega_c : e \to H(c, c)$ で、すべての $f : c \to c'$ について

$$H(\mathrm{id}_c, f) \circ \omega_c = H(f, \mathrm{id}_{c'}) \circ \omega_{c'} \quad (e \to H(c, c'))$$

を満たすものをいう。楔の全体 $\operatorname{Wd}(e, H)$ は、$e$ の射との合成によって $e$ について反変な関手になる。その普遍元、すなわち楔 $(E, \omega)$ で、任意の楔 $(e, \kappa)$ に対し $\omega_c \circ u = \kappa_c$ となる $u : e \to E$ がただ一つあるものを $H$ のエンドといい、$\int_{c} H(c, c)$ と書く。 2. 双対的に、族 $\psi_c : H(c, c) \to e$ で $\psi_c \circ H(f, \mathrm{id}_c) = \psi_{c'} \circ H(\mathrm{id}_{c'}, f)$（$H(c', c) \to e$）を満たすものを余楔、普遍な余楔をコエンドといい、$\int^{c} H(c, c)$ と書く。 3. 前層 $W : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ と関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$（$\mathcal{E}$ は小さい余積をもつ）について、集合 $S$ と $e \in \mathcal{E}$ の余冪 $S \cdot e = \coprod_{s \in S} e$ を使った双関手 $(c', c) \mapsto W(c') \cdot F(c)$ のコエンド

$$W \otimes_{\mathcal{C}} F = \int^{c} W(c) \cdot F(c)$$

を、$W$ と $F$ のテンソル積という。

楔の条件は、$f : c \to c'$ ごとの次の四角形が可換であるということです。$H(c, c')$ へは、$H(c, c)$ から第 2 変数を $f$ で動かしても、$H(c', c')$ から第 1 変数を $f$ で動かしても入れます。頂点 $e$ から出発して、どちらの道を通っても同じ射になることを要求します。3 の余冪 $S \cdot e$ は、$e$ を $S$ の元の個数だけ並べた余積です（$S$ が 3 元なら $e \sqcup e \sqcup e$）。

楔の条件。頂点 $e$ から $H(c,c^{\prime })$ へ、$H(c,c)$ 経由と $H(c^{\prime },c^{\prime })$ 経由の二つの道があり、一致する。

エンドは楔の関手の表現なので、存在すれば一意な同型を除いて一意です（系 4.3［米田の補題と表現可能関手］）。積分記号は「すべての $c$ にわたって対角線上の値をまとめる」という気持ちを表す記法で、測度とは関係ありません。

補題 5.2（エンドは積と等化子で書ける）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏とし、$\mathcal{E}$ は小さい積と等化子をもつとする。双関手 $H : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ について、$P = \prod_{c} H(c, c)$、$Q = \prod_{f : c \to c'} H(c, c')$（射影を $p_c$、$q_f$）とし、$s, t : P \to Q$ を $q_f s = H(\mathrm{id}_c, f)\,p_c$、$q_f t = H(f, \mathrm{id}_{c'})\,p_{c'}$ で定める。$s, t$ の等化子 $e : E \to P$ について $(E, (p_c e)_c)$ は $H$ のエンドである。とくに $\mathsf{Set}$ では

$$\int_{c} H(c, c) = \Bigl\{ (x_c)_c \in \prod_{c} H(c, c) \Bigm| H(\mathrm{id}_c, f)(x_c) = H(f, \mathrm{id}_{c'})(x_{c'})\ (f : c \to c') \Bigr\}.$$

双対的に、小さい余積と余等化子をもつ $\mathcal{E}$ ではコエンドが余等化子として存在し、$\mathsf{Set}$ では $\int^{c} H(c, c) = \bigl(\bigsqcup_{c} H(c, c)\bigr)/{\sim}$（$\sim$ は $z \in H(c', c)$、$f : c \to c'$ についての $H(f, \mathrm{id}_c)(z) \sim H(\mathrm{id}_{c'}, f)(z)$ が生成する同値関係）である。

証明（補題 5.2）

定理 3.1［極限と余極限］ の証明と同じ議論である。族 $\kappa_c : X \to H(c, c)$ は積の普遍性によりただ一つの $v : X \to P$（$p_c v = \kappa_c$）と対応し、$q_f s v = H(\mathrm{id}, f)\kappa_c$、$q_f t v = H(f, \mathrm{id})\kappa_{c'}$ なので、$\kappa$ が楔であることは $sv = tv$ と同値である（積への射は成分で決まる）。等化子の普遍性から、楔は $eu = v$ となる $u : X \to E$ とただ一つずつ対応し、$p_c e u = \kappa_c$。よって $(E, (p_c e))$ は普遍な楔である。$\mathsf{Set}$ の場合は、積と等化子を 定理 4.1［極限と余極限］ の証明のとおり直積と部分集合で書けばよい。双対は反対圏に適用し、$\mathsf{Set}$ の余積と余等化子を同定理の証明の直和と商集合で書く。

∎

命題 5.3（自然変換の集合はエンド）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$\mathcal{D}$ を局所的に小さい圏、$F, G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を関手とする。$\operatorname{Nat}(F, G)$ と射影 $\alpha \mapsto \alpha_c$ は、双関手 $(c', c) \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc', Gc)$ のエンドである：

$$\operatorname{Nat}(F, G) \cong \int_{c} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(Fc, Gc).$$

証明（命題 5.3）

$H(c', c) = \operatorname{Hom}(Fc', Gc)$ は Hom 双関手（命題 4.4［圏・関手・自然変換］）と $F^{\mathrm{op}} \times G$ の合成なので双関手で、$H(\mathrm{id}_c, f)(x) = G(f) \circ x$、$H(f, \mathrm{id}_{c'})(y) = y \circ F(f)$ である。$\mathcal{C}$ は小さいので、補題 5.2 により $\int_c H(c, c)$ は族 $(x_c : Fc \to Gc)_c$ で $G(f) \circ x_c = x_{c'} \circ F(f)$ を満たすもの全体、すなわち $\operatorname{Nat}(F, G)$ で、楔は射影 $(x_c) \mapsto x_c$ である。

∎

これと米田の補題を合わせると、前層 $F$ と対象 $X$ について $F(X) \cong \operatorname{Nat}(h_X, F) \cong \int_{c} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}(\operatorname{Hom}(c, X), F(c))$ が得られます（米田の補題のエンド表示）。その「双対」が次の co-Yoneda の補題です。

命題 5.4（co-Yoneda の補題）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$F$ を $\mathcal{C}$ 上の前層、$X \in \mathcal{C}$ とする。双関手 $H(c', c) = F(c') \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, c)$ について、$F(X)$ と余楔 $\psi_c : F(c) \times \operatorname{Hom}(X, c) \to F(X)$、$\psi_c(a, u) = F(u)(a)$ は $H$ のコエンドである：

$$F(X) \cong \int^{c} F(c) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, c).$$

この同型は $X$ について自然である。

証明（命題 5.4）

余楔であること. $f : c \to c'$ と $(a, u) \in F(c') \times \operatorname{Hom}(X, c)$ について、$H(f, \mathrm{id}_c)(a, u) = (F(f)(a), u)$、$H(\mathrm{id}_{c'}, f)(a, u) = (a, fu)$ であり、$\psi_c(F(f)(a), u) = F(u)F(f)(a) = F(fu)(a) = \psi_{c'}(a, fu)$。

普遍性. 集合 $S$ を頂点とする余楔 $\chi$ が与えられたとする。$\varphi : F(X) \to S$ を $\varphi(a) = \chi_X(a, \mathrm{id}_X)$ とおく。$u : X \to c$、$a \in F(c)$ について、余楔の条件を射 $u : X \to c$ と元 $(a, \mathrm{id}_X) \in F(c) \times \operatorname{Hom}(X, X)$ に使うと

$$\chi_X(F(u)(a), \mathrm{id}_X) = \chi_c(a, u \circ \mathrm{id}_X) = \chi_c(a, u),$$

すなわち $\varphi \circ \psi_c = \chi_c$。逆に $\varphi' \circ \psi_c = \chi_c$ なら、$c = X$、$u = \mathrm{id}_X$ として $\varphi'(a) = \chi_X(a, \mathrm{id}_X) = \varphi(a)$。よって $\chi$ は $\psi$ をただ一通りに経由し、$(F(X), \psi)$ は普遍な余楔である。

自然性. $g : Y \to X$ について、$X$ に対する余楔を $\psi^{X}$、$Y$ に対する余楔を $\psi^{Y}$ と書くと、$F(g)(\psi^{X}_c(a, u)) = F(g)F(u)(a) = F(ug)(a) = \psi^{Y}_c(a, ug)$。すなわち、$H$ の第 2 成分の写像 $u \mapsto ug$ が誘導するコエンドの間の写像は、この同型のもとで $F(g)$ に一致する。

∎

証明は米田の補題とまったく同じ形をしています。余楔は「元 $(a, \mathrm{id}_X)$ での値」で決まり、それ以外の元はこの元を射で動かしたものだからです。$X$ を動かして読むと、co-Yoneda の補題は前層 $F$ が $\int^{c} F(c) \cdot h_c$、すなわち表現可能前層の「$F(c)$ 個ずつの和」を対角線で割ったものであることを言っており、稠密性定理（定理 2.2）をコエンドの言葉で言い直したものになっています。

命題 5.5（エンドの Fubini の定理）✓

$\mathcal{C}, \mathcal{D}$ を小さい圏、$H : (\mathcal{C} \times \mathcal{D})^{\mathrm{op}} \times (\mathcal{C} \times \mathcal{D}) \to \mathcal{E}$ を双関手とし、$H((c, d), (c', d'))$ を $H(c, d; c', d')$ と書く。各 $c, c'$ について双関手 $(d, d') \mapsto H(c, d; c', d')$ がエンド $(H'(c, c'), (\pi^{c, c'}_d)_d)$ をもつとする。

1. $a : c_2 \to c_1$、$b : c_1' \to c_2'$ に、すべての $d$ で $\pi^{c_2, c_2'}_d \circ H'(a, b) = H(a, \mathrm{id}_d; b, \mathrm{id}_d) \circ \pi^{c_1, c_1'}_d$ を満たすただ一つの射を対応させると、$H' : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ は双関手である。
2. $H'$ のエンド $(M, (\mu_c)_c)$ があるなら、$(M, (\pi^{c, c}_d \circ \mu_c)_{(c, d)})$ は $H$ のエンドである。

したがって関係するエンドがすべて存在するとき、$\int_{c}\int_{d} H(c, d; c, d) \cong \int_{(c, d)} H(c, d; c, d) \cong \int_{d}\int_{c} H(c, d; c, d)$。コエンドについても双対の主張が成り立つ。

証明（命題 5.5）

楔の条件は合成で閉じている. 一般の双関手 $K : \mathcal{A}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{A} \to \mathcal{E}$ と族 $\omega_x : e \to K(x, x)$ について、$\omega$ が射 $f : x \to y$ と $g : y \to z$ で楔の条件を満たせば $gf$ でも満たす。実際、$K$ の関手性（第 1 変数と第 2 変数の作用は可換）から

$$K(\mathrm{id}, gf)\omega_x = K(\mathrm{id}, g)K(f, \mathrm{id})\omega_y = K(f, \mathrm{id})K(\mathrm{id}, g)\omega_y = K(f, \mathrm{id})K(g, \mathrm{id})\omega_z = K(gf, \mathrm{id})\omega_z .$$

恒等射では条件は自明なので、楔であることは、射を生成する射の族で条件を確かめれば十分である。

1. $X_d = H(a, \mathrm{id}_d; b, \mathrm{id}_d)\pi^{c_1, c_1'}_d$ が $d$ について楔であることを示せば、エンドの普遍性から $H'(a, b)$ がただ一つ定まり、一意性から $H'(\mathrm{id}, \mathrm{id}) = \mathrm{id}$ と合成の保存が従う。$g : d \to d'$ について、$H$ の関手性から $H(c_2, \mathrm{id}_d; c_2', g) H(a, \mathrm{id}_d; b, \mathrm{id}_d) = H(a, \mathrm{id}_d; b, \mathrm{id}_{d'}) H(c_1, \mathrm{id}_d; c_1', g)$ で、$\pi^{c_1, c_1'}$ の楔の条件を使い、再び関手性で入れ替えると

$$H(c_2, \mathrm{id}_d; c_2', g)X_d = H(a, \mathrm{id}_d; b, \mathrm{id}_{d'}) H(c_1, g; c_1', \mathrm{id}_{d'}) \pi^{c_1, c_1'}_{d'} = H(c_2, g; c_2', \mathrm{id}_{d'}) X_{d'} .$$

（ここで $H(c_i, \mathrm{id}_d; c_i', g)$ などは対象の記号で恒等射を表す。）

2. 頂点 $e$ の族 $(u_{(c, d)} : e \to H(c, d; c, d))$ と族 $(v_c : e \to H'(c, c))$ を比べる。各 $c$ について、$u_{(c, -)}$ が $d$ について楔であることと、$\pi^{c, c}_d v_c = u_{(c, d)}$ となる $v_c$ がただ一つあることは同値である（エンドの普遍性）。この対応のもとで、$f : c \to c'$ についての $v$ の楔の条件 $H'(\mathrm{id}_c, f)v_c = H'(f, \mathrm{id}_{c'})v_{c'}$ は、1 の特徴づけで両辺を各 $\pi^{c, c'}_d$ と合成して比べると（エンドへの射は成分で決まる）、すべての $d$ についての

$$H(\mathrm{id}_c, \mathrm{id}_d; f, \mathrm{id}_d)\,u_{(c, d)} = H(f, \mathrm{id}_d; \mathrm{id}_{c'}, \mathrm{id}_d)\,u_{(c', d)}$$

と同値で、これは $u$ の射 $(f, \mathrm{id}_d)$ についての楔の条件である。$\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ の射は $(f, g) = (\mathrm{id}_{c'}, g) \circ (f, \mathrm{id}_d)$ と分解するので、前段から、$u$ が $H$ への楔であることは「各 $c$ で $d$ について楔で、かつ各 $(f, \mathrm{id}_d)$ で条件を満たす」ことと同値である。こうして $H$ への楔と $H'$ への楔が、頂点の射との合成と可換に 1 対 1 に対応する。$(M, \mu)$ は後者の普遍元なので、対応する楔は前者の普遍元である（命題 4.2［米田の補題と表現可能関手］）。

$\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$ の役割を入れ替えれば $\int_d \int_c$ についても同じことが言え、三つのエンドはいずれも同じ楔の関手を表現するので同型である（系 4.3［米田の補題と表現可能関手］）。コエンドは反対圏に適用する。

∎

Fubini の定理は 命題 5.3［極限と余極限］（極限どうしの交換）のエンド版です。コエンドの計算、たとえば関手のテンソル積の結合法則 $(W \otimes_{\mathcal{C}} M) \otimes_{\mathcal{D}} F \cong W \otimes_{\mathcal{C}} (M \otimes_{\mathcal{D}} F)$ は、この定理でコエンドの順序を入れ替えて示されます。

定義 5.6（重み付き極限）↗

小さい圏 $J$、関手 $W : J \to \mathsf{Set}$（重み）、図式 $D : J \to \mathcal{E}$ について、対象 $L$ と、$X$ について自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(X, L) \cong \operatorname{Nat}\bigl(W, \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(X, D(-))\bigr)$$

の組を $D$ の $W$ で重み付けた極限といい、$\{W, D\}$ と書く。双対的に、$W : J^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ について $\operatorname{Hom}(L, X) \cong \operatorname{Nat}(W, \operatorname{Hom}(D(-), X))$ となる $L$ を重み付き余極限という。

$W$ が 1 点集合に値をとる定数関手なら、右辺は錐の集合 $\operatorname{Cone}(X, D)$ で、重み付き極限はふつうの極限です。$J = \mathbf{1}$、$W(\ast) = S$ なら右辺は $\operatorname{Hom}(X, D(\ast))^{S}$ で、$\{S, D(\ast)\}$ は冪 $\prod_{S} D(\ast)$ です。重みは「各 $D(j)$ を何本の射で見るか」を指定するもので、ふつうの極限では $1$ 本ずつ、冪では $S$ 本です。重み付き極限は、Hom が集合でなく「アーベル群」や「鎖複体」になる豊穣圏で極限を考えるときの基本概念になります（豊穣圏は高次圏論のテーマで扱います）。

6. 前層の圏はトポスである

6.1. デカルト閉圏と部分対象分類子

定義 6.1（デカルト閉圏）↗

圏 $\mathcal{C}$ が終対象 $1$ と任意の 2 対象の積 $X \times Y$ をもち、各 $Y$ について関手 $(-) \times Y : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ が右随伴 $(-)^{Y}$ をもつとき、$\mathcal{C}$ をデカルト閉圏という。$Z^{Y}$ を $Y$ から $Z$ への指数対象、随伴の余単位 $\mathrm{ev} : Z^{Y} \times Y \to Z$ を評価射という。

積を選んでおけば $(-) \times Y$ は関手になります（命題 2.3［極限と余極限］ の 2）。定義の随伴は

$$\operatorname{Hom}(X \times Y, Z) \cong \operatorname{Hom}(X, Z^{Y})$$

が $X, Z$ について自然であることで、「2 変数の射は、1 変数ずつ順に受け取る射と同じ」というカリー化の原理です。

集合では、部分集合 $A \subseteq X$ を、各元が $A$ に入るかどうかを $1$ か $0$ で答える特性関数 $X \to \{0, 1\}$ と同じものと見られます。部分対象分類子は、この $\{0, 1\}$ に当たる対象を一般の圏で与えるものです。前層の圏では、その役目を 6.2 節の篩の前層 $\Omega$ が果たします。

定義 6.2（部分対象分類子・トポス）↗

有限完備な圏 $\mathcal{C}$ の部分対象分類子とは、対象 $\Omega$ と射 $\mathrm{true} : 1 \to \Omega$ の組で、任意の mono $m : A \to X$ に対し、四角形

$$\begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & 1 \\ {\scriptstyle m}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle \mathrm{true}} \\ X & \xrightarrow{\ \chi_m\ } & \Omega \end{array}$$

が引き戻しになる射 $\chi_m : X \to \Omega$ がただ一つ存在するものをいう。有限完備・デカルト閉で部分対象分類子をもつ圏を（初等）トポスという。

$\mathsf{Set}$ では $\Omega = \{0, 1\}$、$\mathrm{true}(\ast) = 1$ で、$\chi_m$ は部分集合 $m(A) \subseteq X$ の特性関数です（引き戻し $\chi_m^{-1}(1)$ が $m(A)$ で、$m$ は単射なので $A$ と同一視できる）。終対象からの射は mono なので（終対象への射は一つしかない）、$\mathrm{true}$ は自動的に mono です。部分対象分類子は、部分対象の関手 $X \mapsto \{X \text{ の部分対象}\}$（定義 7.3［極限と余極限］。引き戻しで反変）を表現する対象です。

6.2. 前層の圏の構造

補題 6.3（前層の mono は各点で単射）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏とする。前層の射 $m : A \Rightarrow F$ が $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ の mono であることと、すべての $X$ で $m_X : A(X) \to F(X)$ が単射であることは同値である。

証明（補題 6.3）

各 $m_X$ が単射なら、$m \circ \alpha = m \circ \beta$ から各成分で $m_X\alpha_X = m_X\beta_X$、よって $\alpha_X = \beta_X$。逆に $m$ が mono で $m_X(a) = m_X(a')$ とする。定理 3.1［米田の補題と表現可能関手］ の自然変換 $\alpha^{a}, \alpha^{a'} : h_X \Rightarrow A$ について、米田の補題の自然性から $m \circ \alpha^{a}$ に対応する元は $m_X(a)$、$m \circ \alpha^{a'}$ に対応する元は $m_X(a')$ で、これらは等しいので $m \circ \alpha^{a} = m \circ \alpha^{a'}$。$m$ は mono なので $\alpha^{a} = \alpha^{a'}$、よって $a = a'$。

∎

定理 6.4（前層の圏はトポス）✓

$\mathcal{C}$ を小さい圏とする。

1. $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ は完備かつ余完備で、極限・余極限は各点で計算できる。
2. $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ はデカルト閉である。前層 $F, G$ について、指数対象は

$$G^{F}(X) = \operatorname{Nat}(h_X \times F, G), \qquad G^{F}(f)(\alpha) = \alpha \circ (h_f \times \mathrm{id}_F)$$

で与えられる。 3. $X$ 上の篩（定義 2.4［米田の補題と表現可能関手］）全体を $\Omega(X)$ とし、$f : Y \to X$ に $f^{*}S = \{v \mid f \circ v \in S\}$ を対応させると、$\Omega$ は前層である。$\mathrm{true}_X$ を最大の篩 $h_X$ とすると、$(\Omega, \mathrm{true})$ は部分対象分類子で、mono $m : A \Rightarrow F$ の特性射は

$$\chi_m(a) = \{\, u : W \to X \mid F(u)(a) \in m_W(A(W)) \,\} \qquad (a \in F(X))$$

である。

とくに $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ はトポスである。

証明（定理 6.4）

1. $\mathsf{Set}$ は完備かつ余完備で（定理 4.1［極限と余極限］）、命題 5.1［極限と余極限］ により関手圏 $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$ もそうで、極限・余極限は各点で計算できる。とくに終対象は 1 点集合の定数前層 $1$、積は $(F \times G)(X) = F(X) \times G(X)$ である。

2. $G^{F}(X)$ は小さい集合である（命題 5.4［圏・関手・自然変換］ の 2）。$h_{fg} = h_f h_g$ から $G^{F}(fg) = G^{F}(g)G^{F}(f)$ で、$G^{F}$ は前層である。前層 $H$ について、写像 $\Lambda : \operatorname{Nat}(H \times F, G) \to \operatorname{Nat}(H, G^{F})$ を

$$\Lambda(\beta)_X(s)_W(u, a) = \beta_W\bigl(H(u)(s), a\bigr) \qquad (s \in H(X),\ u : W \to X,\ a \in F(W))$$

で定める。$\Lambda(\beta)_X(s)$ が自然変換であること：$v : W' \to W$ について $\Lambda(\beta)_X(s)_{W'}(uv, F(v)(a)) = \beta_{W'}(H(v)H(u)(s), F(v)(a)) = G(v)\beta_W(H(u)(s), a)$（$\beta$ の自然性）。$\Lambda(\beta)$ が自然変換であること：$f : Y \to X$ について

$$\Lambda(\beta)_Y(H(f)(s))_W(u, a) = \beta_W(H(fu)(s), a) = \Lambda(\beta)_X(s)_W(fu, a) = \bigl(G^{F}(f)(\Lambda(\beta)_X(s))\bigr)_W(u, a).$$

逆写像を $\Lambda'(\gamma)_W(s, a) = \gamma_W(s)_W(\mathrm{id}_W, a)$ で定める。$\Lambda'\Lambda(\beta)_W(s, a) = \beta_W(H(\mathrm{id})(s), a) = \beta_W(s, a)$。逆向きは、$\gamma$ の自然性 $\gamma_W(H(u)(s)) = G^{F}(u)(\gamma_X(s)) = \gamma_X(s) \circ (h_u \times \mathrm{id})$ から

$$\Lambda\Lambda'(\gamma)_X(s)_W(u, a) = \gamma_W(H(u)(s))_W(\mathrm{id}_W, a) = \gamma_X(s)_W(u, a).$$

$\Lambda'(\gamma)$ が自然変換であることも、$\gamma_W(s)$ の自然性を射 $v : W' \to W$ と元 $(\mathrm{id}_W, a)$ に使えば、上と同じ形の計算で確かめられる：$\Lambda'(\gamma)_{W'}(H(v)(s), F(v)(a)) = \gamma_W(s)_{W'}(v, F(v)(a)) = G(v)\gamma_W(s)_W(\mathrm{id}_W, a)$。最後に $\Lambda$ は $H$ と $G$ について自然である。$\kappa : H' \Rightarrow H$ について $\Lambda(\beta \circ (\kappa \times \mathrm{id}))_X(s)_W(u, a) = \beta_W(\kappa_W H'(u)(s), a) = \beta_W(H(u)\kappa_X(s), a) = \Lambda(\beta)_X(\kappa_X(s))_W(u, a)$ である。$G$ についても、$\sigma : G \Rightarrow G'$ が $G^{F} \Rightarrow G'^{F}$ に合成 $\alpha \mapsto \sigma \circ \alpha$ で作用することに注意すると、$\Lambda(\sigma \circ \beta)_X(s)_W(u, a) = \sigma_W\beta_W(H(u)(s), a) = (\sigma \circ \Lambda(\beta)_X(s))_W(u, a)$ で自然である。よって $(-) \times F \dashv (-)^{F}$（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。

3. 篩 $S \subseteq h_X$ は部分関手なので、$u \in S(W)$ と $v : W' \to W$ について $h_X(v)(u) = u \circ v \in S(W')$ である。以下 $S$ を射の集合 $\bigcup_{W} S(W)$ と同一視し、この性質を「$u \in S$ なら $uv \in S$」と書く。$\Omega(X)$ は $\bigsqcup_{W} \operatorname{Hom}(W, X)$ の部分集合の集合なので小さい（命題 2.3［圏・関手・自然変換］）。$f^{*}S$ は篩である（$fv \in S$ なら $f(vw) = (fv)w \in S$）。$\mathrm{id}^{*}S = S$、$(fg)^{*}S = g^{*}f^{*}S$ なので $\Omega$ は前層で、$f^{*}h_X = h_Y$ なので $\mathrm{true}$ は自然変換である。篩 $S$ と $u : W \to X$ について、

$$u \in S \iff \mathrm{id}_W \in u^{*}S \iff u^{*}S = h_W \qquad (\ast)$$

（最後の同値は、$\mathrm{id}_W$ を含む篩は任意の $v = \mathrm{id}_W \circ v$ を含むことから）。

$m : A \Rightarrow F$ を mono とする。補題 6.3 により各 $m_X$ は単射である。$\chi_m(a)$ は篩である：$F(u)(a) = m_W(b)$ なら $F(uv)(a) = F(v)m_W(b) = m_{W'}(A(v)(b))$。自然性：$f : Y \to X$ について、$v \in \chi_m(F(f)(a)) \iff F(fv)(a) \in m(A) \iff fv \in \chi_m(a) \iff v \in f^{*}\chi_m(a)$。

引き戻しであること：1 により、$\mathrm{true}$ と $\chi_m$ の引き戻しは各点の引き戻し $P(X) = \{a \in F(X) \mid \chi_m(a) = h_X\}$ とその包含で計算できる。$(\ast)$ を $u = \mathrm{id}_X$ に使うと、$\chi_m(a) = h_X \iff \mathrm{id}_X \in \chi_m(a) \iff a \in m_X(A(X))$。$m_X$ は単射なので、$(A(X), m_X, A(X) \to 1)$ は各点で $\mathsf{Set}$ における $\mathrm{true}_X$ と $(\chi_m)_X$ の引き戻し（極限錐）で（命題 5.2［極限と余極限］ の 1 の記述）、命題 5.1［極限と余極限］ の構成で各点の極限としてこれを選ぶと、射の上の値は一意性から $A(f)$ に一致する。よって $(A, m, A \to 1)$ は $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ の引き戻しである。

一意性：$\chi' : F \Rightarrow \Omega$ でも四角形が引き戻しになるとする。$\mathrm{true}$ と $\chi'$ の各点の引き戻し $P'(X) = \{a \mid \chi'_X(a) = h_X\}$ も引き戻しなので、命題 2.3［極限と余極限］ により $A$ と $P'$ は $F$ への射と両立する同型で結ばれ、$m_X(A(X)) = P'(X)$。すると $a \in F(X)$、$u : W \to X$ について、$(\ast)$ と $\chi'$ の自然性から

$$u \in \chi'_X(a) \iff u^{*}\chi'_X(a) = h_W \iff \chi'_W(F(u)(a)) = h_W \iff F(u)(a) \in m_W(A(W)) \iff u \in \chi_m(a).$$

よって $\chi' = \chi_m$ である。

∎

2 の公式は推測できます。指数対象があるなら、定理 3.1［米田の補題と表現可能関手］ と随伴から $G^{F}(X) \cong \operatorname{Nat}(h_X, G^{F}) \cong \operatorname{Nat}(h_X \times F, G)$ でなければならないからです。3 の公式も同様で、$\Omega(X) \cong \operatorname{Nat}(h_X, \Omega)$ は $h_X$ の部分対象、すなわち $X$ 上の篩でなければなりません。米田の補題は、前層の圏で「あるとすればこうなる」を教えてくれる道具でもあります。

例 6.5（有向グラフの部分対象分類子）

2 対象 $V, E$ と 2 本の射 $s, t : V \to E$ をもつ圏の上の前層は有向グラフでした（例 2.2［米田の補題と表現可能関手］ の (c)。$G(E)$ が辺、$G(V)$ が頂点、$G(s), G(t)$ が始点・終点）。定理 6.4 の $\Omega$ を計算します。

$V$ への射は $\mathrm{id}_V$ だけなので、$V$ 上の篩は $\varnothing$ と $h_V$ の 2 つです。これを頂点 $0$、$1$ と呼びます。$E$ への射は $\mathrm{id}_E, s, t$ で、$\mathrm{id}_E$ を含む篩は最大の篩 $h_E$ です。含まない篩は $\{s, t\}$ の部分集合で、$\varnothing$、$\{s\}$、$\{t\}$、$\{s, t\}$ のどれでも篩の条件を満たします。よって $\Omega$ の辺は 5 本です。辺 $S$ の始点は $s^{*}S$ で、これは $s \in S$ のとき $h_V$（頂点 $1$）、そうでなければ $\varnothing$（頂点 $0$）です。終点も同様です。

辺 $S$	$\varnothing$	$\{s\}$	$\{t\}$	$\{s, t\}$	$h_E$（$\mathrm{true}$）
始点 → 終点	$0 \to 0$	$1 \to 0$	$0 \to 1$	$1 \to 1$	$1 \to 1$

部分グラフ $A \subseteq G$ の特性射は、頂点を「$A$ に入るか」で $1$、$0$ に送り、辺 $e$ を、$e \in A$ なら $h_E$ に、$e \notin A$ なら「$A$ に入っている端点」の集合（始点が入れば $s$、終点が入れば $t$）に送ります。頂点 $1$ に 2 本のループがあるのは、「両端が $A$ に入っているが辺自身は入っていない」ことと「辺が $A$ に入っている」ことを区別するためです。真理値が 2 つでなく「部分的に真」を含む多値になるのが、一般のトポスの論理（直観主義論理）の特徴です。

有向グラフの圏の部分対象分類子 $\Omega$。頂点は 2 つ、辺は 5 本で、頂点 1 の太いループが $\mathrm{true}$。

7. 誘導表現と Frobenius の相互律

群 $G$ を 1 対象の圏 $\mathbf{B}G$ と見ると（例 3.4［圏・関手・自然変換］）、関手 $V : \mathbf{B}G \to \mathsf{Vect}_k$ は、ベクトル空間 $V = V(\ast)$ と群準同型 $\rho : G \to \mathrm{GL}(V)$、$\rho(g) = V(g)$ の組、すなわち $G$ の $k$ 上の表現（次元は問わない）です。自然変換 $V \Rightarrow W$ は $f\rho_V(g) = \rho_W(g)f$ を満たす線形写像、すなわち $G$ 準同型です（定義 2.1［有限群の表現］ の用語）。そこで $\mathrm{Rep}_k(G) = [\mathbf{B}G, \mathsf{Vect}_k]$ とおきます。群準同型 $\varphi : H \to G$ は関手 $\mathbf{B}\varphi : \mathbf{B}H \to \mathbf{B}G$ で、制限 $\operatorname{Res} = (\mathbf{B}\varphi)^{*}$ は $G$ の表現を $\varphi$ を通して $H$ の表現と見る操作です。

誘導表現は、部分群 $H$ の表現 $V$ から、$G$ の表現を最も自由に作る操作です。次の命題の 2 は、剰余類の代表系ごとに $V$ を一つずつ並べればよいことを述べています。たとえば $G$ を位数 6 の対称群 $S_3$、$H$ を位数 2 の部分群とすると $[G : H] = 3$ なので、1 次元の表現 $V$ からは 3 次元の $G$ の表現ができます。

命題 7.1（誘導表現と Frobenius の相互律）✓

$G, H$ を小さい群、$\varphi : H \to G$ を群準同型、$k$ を体とする。

1. 制限 $\operatorname{Res} : \mathrm{Rep}_k(G) \to \mathrm{Rep}_k(H)$ は左随伴 $\operatorname{Ind} = \operatorname{Lan}_{\mathbf{B}\varphi}$ と右随伴 $\operatorname{CoInd} = \operatorname{Ran}_{\mathbf{B}\varphi}$ をもつ。とくに、$V \in \mathrm{Rep}_k(H)$、$W \in \mathrm{Rep}_k(G)$ について自然な全単射（Frobenius の相互律）

$$\operatorname{Hom}_G(\operatorname{Ind}V, W) \cong \operatorname{Hom}_H(V, \operatorname{Res}W)$$

がある。 2. $\varphi$ が部分群 $H \le G$ の包含で、$R \subseteq G$ が左剰余類 $G/H$ の代表系（各 $gH$ がちょうど一つの $r \in R$ を含む）のとき、$\operatorname{Ind}V \cong \bigoplus_{r \in R} V$ で、$g \in G$ は $g \cdot e_r(v) = e_{r'}(\rho_V(h)v)$（$gr = r'h$、$r' \in R$、$h \in H$）で作用する。ここで $e_r : V \to \bigoplus_R V$ は $r$ 成分への入射である。とくに $\dim \operatorname{Ind}V = [G : H] \dim V$。 3. 2 の状況で $G$ が有限群、$k = \mathbb{C}$、$V$ が有限次元なら、$\operatorname{Ind}V$ は有限次元の表現で、1 の全単射は有限次元表現の間の Frobenius の相互律を与える。

証明（命題 7.1）

1. $\mathbf{B}G$、$\mathbf{B}H$ は小さい圏で、$\mathsf{Vect}_k = \mathsf{Mod}_k$ は局所的に小さく、完備かつ余完備である（定理 4.1［極限と余極限］）。系 3.4 から主張が従う。

2. 定理 3.3 の公式で計算する。$K = \mathbf{B}\varphi$ とすると、コンマ圏 $(K \downarrow \ast)$ の対象は射 $g : K(\ast) = \ast \to \ast$、すなわち $g \in G$ で、$g$ から $g'$ への射は $g'h = g$ を満たす $h \in H$ である。図式は各対象に $V$ を、射 $h$ に $\rho_V(h)$ を対応させる。$W$ を頂点とする余錐は線形写像の族 $(\lambda_g : V \to W)_{g \in G}$ で

$$\lambda_{g'h} = \lambda_{g'} \circ \rho_V(h) \qquad (g' \in G,\ h \in H)$$

を満たすものである。$g \in G$ は $g = rh$（$r \in R$、$h \in H$）とただ一通りに書けるので、余錐は $(\lambda_r)_{r \in R}$ の値で決まり、逆に任意の族 $(\lambda_r)_{r \in R}$ から $\lambda_{rh} = \lambda_r\rho_V(h)$ と定めると余錐になる（$\lambda_{(rh)h'} = \lambda_r\rho_V(hh') = \lambda_{rh}\rho_V(h')$）。直和の普遍性（定理 4.1［極限と余極限］ の証明の $\mathsf{Mod}_A$ の余積）から、族 $(\lambda_r)$ は線形写像 $\bigoplus_R V \to W$ と 1 対 1 に対応するので、$\bigoplus_R V$ と $\iota_{rh}(v) = e_r(\rho_V(h)v)$ は余極限である。$G$ の作用は 定理 3.3 の 1 により $L(g)\iota_{g_1} = \iota_{gg_1}$ で与えられるので、$gr = r'h$ のとき $g \cdot e_r(v) = g \cdot \iota_r(v) = \iota_{r'h}(v) = e_{r'}(\rho_V(h)v)$。次元は $|R| = [G : H]$ から従う。

3. $[G : H] \le |G|$ は有限なので 2 から $\operatorname{Ind}V$ は有限次元で、群準同型 $G \to \mathrm{GL}(\operatorname{Ind}V)$ を与える。有限次元の表現と $G$ 準同型は $\mathrm{Rep}_{\mathbb{C}}(G)$ の充満部分圏をなすので、1 の全単射はそのまま有限次元表現の間の全単射である。

∎

左随伴と右随伴は余極限と極限の公式で計算されるので、余誘導表現は双対の公式を書き下して $\operatorname{CoInd}V = \{f : G \to V \mid f(hg) = \rho_V(h)f(g)\}$、$(g' \cdot f)(g) = f(gg')$ となります。有限指数では二つは同型になりますが、無限指数では一般に異なります（直和と直積の違い）。指標の内積で書いた古典的な相互律 $\langle \operatorname{Ind}\chi, \psi \rangle_G = \langle \chi, \operatorname{Res}\psi \rangle_H$ は、1 の全単射の両辺の次元を 有限群の表現 の重複度の公式で数えたものです。

注意 7.2（誘導は係数の拡大と同じ形）

群環 $k[G]$（$G$ の元を基底とするベクトル空間に、群の積を双線形に延ばした積を入れた環）を使うと、表現は $k[G]$ 加群で、2 の $\bigoplus_R V$ は $k[G] \otimes_{k[H]} V$ と書けます。$G$ が可換群なら $k[G]$ は可換環で、これは テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群 の係数の拡大（定義 2.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）そのもので、Frobenius の相互律は係数の拡大と制限の随伴（命題 6.2［随伴関手と随伴関手定理］ の 2）と同じ形です。群環と群のコホモロジーの関係は、このテーマの群のコホモロジーの章で扱います。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathcal{C}$ を 2 対象 $1, 2$ の離散圏、$K : \mathcal{C} \to \mathbf{1}$ を唯一の関手、$F : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ を $F(1) = A$、$F(2) = B$ とする。$\operatorname{Lan}_K F$ を求め、$B \ne \varnothing$ のとき $\eta_1 : F(1) \to (\operatorname{Lan}_K F)(K(1))$ が同型でないことを確かめよ。命題 3.6 の仮定のどこが満たされていないか。

解答

例 3.2 により $\operatorname{Lan}_K F$ は $F$ の余極限、すなわち直和 $A \sqcup B$ で、$\eta_1$ は入射 $A \to A \sqcup B$ です。$B$ に元があれば、その像は $\eta_1$ の像に入らないので $\eta_1$ は全射でなく、同型ではありません。$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(1, 2) = \varnothing$ ですが $\operatorname{Hom}_{\mathbf{1}}(K1, K2) = \{\mathrm{id}\}$ なので、$K$ は充満ではありません。

演習 8.2標準

$\mathcal{C} = [1] = \{0 \xrightarrow{a} 1\}$ とする。$\mathcal{C}$ 上の前層は写像 $F(1) \to F(0)$ と同じものである。定理 6.4 の $\Omega$ について、$\Omega(0)$ と $\Omega(1)$ の元の個数、および写像 $\Omega(a) : \Omega(1) \to \Omega(0)$ を求めよ。

解答

$0$ への射は $\mathrm{id}_0$ だけなので、$0$ 上の篩は $\varnothing$ と $h_0$ の 2 つです。$1$ への射は $\mathrm{id}_1$ と $a$ で、$\mathrm{id}_1$ を含む篩は $h_1$、含まない篩は $\varnothing$ と $\{a\}$ なので、$\Omega(1)$ は 3 元です。$\Omega(a)(S) = a^{*}S = \{v : W \to 0 \mid av \in S\}$ は、$a \in S$ なら $h_0$、そうでなければ $\varnothing$ です。よって $\varnothing \mapsto \varnothing$、$\{a\} \mapsto h_0$、$h_1 \mapsto h_0$ です。前層 $F$ の部分前層 $A$（$A(1) \subseteq F(1)$、$A(0) \subseteq F(0)$ で $F(a)$ が $A(1)$ を $A(0)$ に写すもの）の特性射は、$x \in F(1)$ を「$x \in A(1)$ なら $h_1$、$x \notin A(1)$ だが $F(a)(x) \in A(0)$ なら $\{a\}$、それ以外なら $\varnothing$」に送ります。

演習 8.3難

群 $G$ について、$\mathbf{B}G$ 上の前層は右 $G$ 集合である（例 2.2［米田の補題と表現可能関手］ の (a)）。右 $G$ 集合 $X, Y$ について、定理 6.4 の指数対象 $Y^{X}$ が、写像全体 $\operatorname{Map}(X, Y)$ に右作用 $(\phi \cdot g)(x) = \phi(x g^{-1})\, g$ を入れたものと同型であることを示せ。

解答

$h_\ast$ は $G$ に右掛け算で作用させた右 $G$ 集合で、$h_\ast \times X$ には $(k, x) \cdot g = (kg, xg)$ で作用します。$Y^{X}(\ast) = \operatorname{Nat}(h_\ast \times X, Y)$ は同変写像 $\alpha : G \times X \to Y$ の集合です。$\phi(x) = \alpha(e, x)$ とおくと、同変性から $\alpha(k, x) = \alpha((e, xk^{-1}) \cdot k) = \phi(xk^{-1})\,k$ なので、$\alpha$ は $\phi$ で決まり、逆に任意の写像 $\phi$ からこの式で同変写像が得られます（$\alpha(kg, xg) = \phi(xk^{-1})kg = \alpha(k, x)g$）。$g$ の作用は $Y^{X}(g)(\alpha) = \alpha \circ (h_g \times \mathrm{id})$ で、$h_g(k) = gk$ なので、対応する写像は $x \mapsto \alpha(g, x) = \phi(xg^{-1})\,g$ です。$((\phi \cdot g) \cdot g')(x) = \phi(x g'^{-1}g^{-1})\,gg'$ なので、これは確かに右作用です。$G$ が自明群なら、カリー化 $\operatorname{Hom}(X \times Y', Y) \cong \operatorname{Hom}(X, \operatorname{Map}(Y', Y))$ に戻ります。

演習 8.4難

定理 4.1 の状況で、実現 $|F|_A$ が関手のテンソル積 $F \otimes_{\mathcal{C}} A = \int^{c} F(c) \cdot A(c)$（定義 5.1 の 3）と同型であることを示せ。

解答

余冪の定義から、余楔 $\psi_c : F(c) \cdot A(c) \to e$ は射の族 $\psi_{c, x} : A(c) \to e$（$x \in F(c)$）と同じものです。$f : c \to c'$ について、$H(f, \mathrm{id}_c) : F(c') \cdot A(c) \to F(c) \cdot A(c)$ は $x$ 番目の成分を恒等射で $F(f)(x)$ 番目の成分へ送り、$H(\mathrm{id}_{c'}, f) : F(c') \cdot A(c) \to F(c') \cdot A(c')$ は $x$ 番目の成分を $A(f)$ で $x$ 番目の成分へ送ります。したがって余楔の条件は、すべての $x \in F(c')$ について $\psi_{c, F(f)(x)} = \psi_{c', x} \circ A(f)$ です。これは $\operatorname{el}(F)$ の射 $f : (c, F(f)(x)) \to (c', x)$ についての余錐の条件そのものなので、余楔と $A\pi_F$ 下の余錐は、頂点の射との合成と両立して 1 対 1 に対応します。両者の普遍元は同じ関手を表現するので、系 4.3［米田の補題と表現可能関手］ により $|F|_A \cong F \otimes_{\mathcal{C}} A$ です。

参考文献

• D. M. Kan, “Adjoint functors”, Transactions of the American Mathematical Society 87 (1958), 294–329 — Kan 拡張の導入。
• S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 5, Springer, 1998 — 第 IX 章（エンド・コエンド）、第 X 章（Kan 拡張）。
• E. Riehl, Category Theory in Context, Dover, 2016 — 第 6 章（Kan 拡張）。
• S. Mac Lane, I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, Universitext, Springer, 1992 — 第 I 章（前層の圏、部分対象分類子）。
• F. Loregian, (Co)end Calculus, London Mathematical Society Lecture Note Series 468, Cambridge University Press, 2021 — 第 1〜2 章（エンド・コエンド、co-Yoneda の補題）。
• J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, Graduate Texts in Mathematics 42, Springer, 1977 — 第 7 章（誘導表現と Frobenius の相互律）。