神経と実現の随伴

$\mathcal{C}$ を小さい圏、$\mathcal{E}$ を局所的に小さい余完備な圏、$A : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ を関手とする。$e \in \mathcal{E}$ に前層 $N_A(e) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(A(-), e)$ を、射 $k : e \to e'$ に $N_A(k) = k \circ (-)$ を対応させる関手 $N_A : \mathcal{E} \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ を $A$ の神経という。各前層 $F$ に余極限

を選ぶ。

1. $\Phi_{F, e} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{E}}(|F|_A, e) \to \operatorname{Nat}(F, N_A e)$、$\Phi(g)_X(x) = g \circ \iota^{F}_{(X, x)}$ は全単射で、$e$ について自然である。
2. $F \mapsto |F|_A$ は、自然変換 $\tau : F \Rightarrow F'$ を $|\tau| \circ \iota^{F}_{(X, x)} = \iota^{F'}_{(X, \tau_X(x))}$ を満たすただ一つの射に送る関手（実現）に延び、$|{-}|_A \dashv N_A$ で、随伴の全単射は $\Phi$ である。
3. $\iota^{h_X}_{(X, \mathrm{id}_X)} : A(X) \to |h_X|_A$ は同型で、$X$ について自然である。すなわち $|{-}|_A \circ \mathbf{y} \cong A$。