左 Kan 拡張・右 Kan 拡張・各点 Kan 拡張

関手 $K : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ について、

1. 関手 $L : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ と自然変換 $\eta : F \Rightarrow LK$ の組が $F$ の $K$ に沿った左 Kan 拡張であるとは、任意の関手 $G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ について、写像

が全単射であることをいう。すなわち $(L, \eta)$ は $F$ から関手 $K^{*}$ への普遍射（定義 4.5［米田の補題と表現可能関手］）である。$L$ を $\operatorname{Lan}_K F$ と書く。 2. 双対的に、組 $(R, \varepsilon : RK \Rightarrow F)$ で、任意の $G$ について $\operatorname{Nat}(G, R) \to \operatorname{Nat}(GK, F)$、$\sigma \mapsto \varepsilon \circ \sigma K$ が全単射であるものを右 Kan 拡張といい、$R$ を $\operatorname{Ran}_K F$ と書く。 3. $d \in \mathcal{D}$ について、コンマ圏 $(K \downarrow d)$（対象は組 $(c, u : Kc \to d)$、射 $(c, u) \to (c', u')$ は $u' \circ K(f) = u$ を満たす $f : c \to c'$）と射影 $P_d : (K \downarrow d) \to \mathcal{C}$ を考える。左 Kan 拡張 $(L, \eta)$ が各点左 Kan 拡張であるとは、各 $d$ で、余錐 $(L(u) \circ \eta_c)_{(c, u)} : FP_d \Rightarrow \Delta L(d)$ が $FP_d$ の余極限であることをいう。各点右 Kan 拡張は、$(d \downarrow K)$ 上の極限を使って双対的に定める。