数学 › 圏論・ホモロジー代数 › Kan 拡張と前層の圏

誘導表現と Frobenius の相互律

命題 7.1（「Kan 拡張と前層の圏」§7） ・ ✓公理まで証明済み

G,HG, H を小さい群、φ:H→G\varphi : H \to G を群準同型、kk を体とする。

  1. 制限 Res⁡:Repk(G)→Repk(H)\operatorname{Res} : \mathrm{Rep}_k(G) \to \mathrm{Rep}_k(H) は左随伴 Ind⁡=Lan⁡Bφ\operatorname{Ind} = \operatorname{Lan}_{\mathbf{B}\varphi} と右随伴 CoInd⁡=Ran⁡Bφ\operatorname{CoInd} = \operatorname{Ran}_{\mathbf{B}\varphi} をもつ。とくに、V∈Repk(H)V \in \mathrm{Rep}_k(H)、W∈Repk(G)W \in \mathrm{Rep}_k(G) について自然な全単射（Frobenius の相互律）
Hom⁡G(Ind⁡V,W)≅Hom⁡H(V,Res⁡W)\operatorname{Hom}_G(\operatorname{Ind}V, W) \cong \operatorname{Hom}_H(V, \operatorname{Res}W)

がある。 2. φ\varphi が部分群 H≤GH \le G の包含で、R⊆GR \subseteq G が左剰余類 G/HG/H の代表系（各 gHgH がちょうど一つの r∈Rr \in R を含む）のとき、Ind⁡V≅⨁r∈RV\operatorname{Ind}V \cong \bigoplus_{r \in R} V で、g∈Gg \in G は g⋅er(v)=er′(ρV(h)v)g \cdot e_r(v) = e_{r'}(\rho_V(h)v)（gr=r′hgr = r'h、r′∈Rr' \in R、h∈Hh \in H）で作用する。ここで er:V→⨁RVe_r : V \to \bigoplus_R V は rr 成分への入射である。とくに dim⁡Ind⁡V=[G:H]dim⁡V\dim \operatorname{Ind}V = [G : H] \dim V。 3. 2 の状況で GG が有限群、k=Ck = \mathbb{C}、VV が有限次元なら、Ind⁡V\operatorname{Ind}V は有限次元の表現で、1 の全単射は有限次元表現の間の Frobenius の相互律を与える。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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