直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示

$(M_i)_{i \in I}$ を $A$ 加群の族とする。

1. 直積 $\prod_i M_i$ は成分ごとの演算による加群、直和 $\bigoplus_i M_i$ はその中で有限個を除き成分が $0$ の元全体である。$I$ が有限なら両者は一致する。
2. $A^{(I)} = \bigoplus_{i \in I} A$ と同型な加群を自由加群という。$e_i$ を第 $i$ 成分だけが $1$ の元とすると、$A^{(I)}$ の各元は $\sum_i a_i e_i$（有限和）と一意に書ける。$(e_i)$ を基底という。
3. $M$ が有限個の元 $m_1, \ldots, m_n$ で生成される（$M = Am_1 + \cdots + Am_n$）とき有限生成という。これは全射 $A^n \to M$ があることと同値である。
4. 完全列（下の 定義 2.3）$A^m \to A^n \to M \to 0$ が存在するとき、$M$ は有限表示であるという。