自由加群とアーベル化

命題 6.1（「随伴関手と随伴関手定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

可換環 $A$ について、集合 $S$ に自由加群 $A^{(S)}$ を対応させる関手は、忘却関手 $\mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Set}$ の左随伴で、単位は $s \mapsto e_s$ である。とくに自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{(S)}$ は忘却関手 $\mathsf{Ab} \to \mathsf{Set}$ の左随伴を与える。
群 $G$ について、交換子 $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ が生成する部分群 $[G, G]$ は正規部分群で、 $G^{\mathrm{ab}} = G/[G, G]$ はアーベル群である。 $G \mapsto G^{\mathrm{ab}}$ は包含 $\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}$ の左随伴で、 $\mathsf{Ab}$ は $\mathsf{Grp}$ の反射的部分圏である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示定義 2.2・加群・完全列・中山の補題
宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
- パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
  - 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
    米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
商群✓定理 5.1・正規部分群と商群
- 剰余類の積が定まるための必要十分条件✓定理 3.2・正規部分群と商群
  - 左剰余類の基本性質✓命題 2.2・正規部分群と商群
- 左剰余類の基本性質✓命題 2.2・正規部分群と商群
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類
    部分群定義 3.1・部分群と剰余類
準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）

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$H_0$ と $H_1$ とアーベル化✓命題 4.3・群のコホモロジーと群の拡大

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