数学 › 代数学（群・環・体） › 群の準同型定理

準同型の分解定理（商群の普遍性）

定理 7.1（「群の準同型定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$G$ 、 $H$ を群、 $f \colon G \to H$ を群準同型、 $N \trianglelefteq G$ とし、 $\pi \colon G \to G/N$ を標準全射とします。このとき次の二つは同値です。

$N \subseteq \operatorname{Ker} f$ 。
$f = \bar{f} \circ \pi$ を満たす群準同型 $\bar{f} \colon G/N \to H$ が存在する。

さらにこのとき $\bar{f}$ は一意に定まり、 $\bar{f}(xN) = f(x)$ で与えられ、

\operatorname{Im}\bar{f} = \operatorname{Im} f, \qquad \operatorname{Ker}\bar{f} = (\operatorname{Ker} f)/N

が成り立ちます。ここで $(\operatorname{Ker} f)/N$ は、 $N \trianglelefteq \operatorname{Ker} f$ による商群を $G/N$ の部分群とみなしたものです。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

第三同型定理✓系 7.2・群の準同型定理
van Kampen の定理の特別な場合✓系 6.2・基本群と被覆空間
自由加群とアーベル化✓命題 6.1・随伴関手と随伴関手定理
正則エピ射は全射✓命題 7.5・極限と余極限
スピン構造の存在と分類✓定理 6.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

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