数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

スピン構造の存在と分類

定理 6.2（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§6） ・ ✓公理まで証明済み

n≥3n\ge3 とし、MM を連結な向き付けられた nn 次元 Riemann 多様体、π ⁣:PSO→M\pi\colon P_{SO}\to M を射影、q0∈PSOq_0\in P_{SO}、x0=π(q0)x_0=\pi(q_0) とする。Spin(n)\mathrm{Spin}(n) の中で 11 から −1-1 への道 a(t)a(t) をとり、PSOP_{SO} のループ γ0(t)=q0ρ(a(t))\gamma_0(t)=q_0\rho(a(t)) を考える（ρ(±1)=I\rho(\pm1)=I なので閉じている）。π1(PSO,q0)\pi_1(P_{SO},q_0) から Z/2\mathbb{Z}/2 への準同型 φ\varphi で φ([γ0])=1\varphi([\gamma_0])=1 をみたすもの全体を S\mathcal{S} とおく。

  1. MM がスピン構造をもつための必要十分条件は、S≠∅\mathcal{S}\ne\varnothing である。
  2. スピン構造の同型類の全体と S\mathcal{S} の間には全単射があり、群 Hom⁡(π1(M,x0),Z/2)\operatorname{Hom}(\pi_1(M,x_0),\mathbb{Z}/2) は χ⋅φ=φ+χ∘π∗\chi\cdot\varphi=\varphi+\chi\circ\pi_* により S\mathcal{S} に単純推移的に作用する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 72 件、定義なども含めて 82 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 15 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。