数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

μ の性質

補題 6.7（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§6）・ ✓公理まで証明済み

スピノル加群について、 $B,C\in\mathfrak{so}(n)$ 、 $x\in\mathbb{R}^n$ 、 $a\in\mathrm{Spin}(n)$ として次が成り立つ。

$[\mu(B),\gamma(x)]=\gamma(Bx)$ 。
$\mu([B,C])=[\mu(B),\mu(C)]$ 。
$\sigma(a)\mu(B)\sigma(a)^{-1}=\mu\bigl(\rho(a)B\rho(a)^{-1}\bigr)$ 。
$\tilde A(t)$ が $\mathrm{Spin}(n)$ の滑らかな曲線で $A=\rho\circ\tilde A$ なら、 $\sigma(\tilde A)^{-1}\dfrac{d}{dt}\sigma(\tilde A)=\mu\bigl(A^{-1}A'\bigr)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
Spin(n) は SO(n) の連結な 2 重被覆✓定理 8.6・行列 Lie 群と指数写像
- Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
- 直交変換は鏡映の積✓補題 8.5・行列 Lie 群と指数写像
- 微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像
- 連続な 1 径数部分群✓補題 4.4・行列 Lie 群と指数写像
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
- Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
  - 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
- Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
- 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
- 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
- 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定この先をたどる →
    ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

スピン構造の存在と分類✓定理 6.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
スピン接続✓命題 6.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
スピン接続の曲率✓命題 6.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

μ の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件