Spin(n) は SO(n) の連結な 2 重被覆

定理 8.6（「行列 Lie 群と指数写像」§8）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge2$ とする。 $a\in\mathrm{Spin}(n)$ と $x\in\mathbb{R}^n$ に対し $a\,c(x)\,a^{-1}=c\bigl(\rho(a)x\bigr)$ で $\rho(a)\in SO(n)$ が定まり、 $\rho\colon\mathrm{Spin}(n)\to SO(n)$ は連続な全射準同型で、核は $\lbrace\pm1\rbrace$ である。 $\mathrm{Spin}(n)$ はコンパクトかつ連結な行列 Lie 群で、 $\rho$ は被覆写像である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
直交変換は鏡映の積✓補題 8.5・行列 Lie 群と指数写像
微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
    指数写像定義 6.1・リー群とリー環
  - Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
    二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

スピン構造の存在と分類✓定理 6.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Spin(n) の単連結性✓命題 8.7・行列 Lie 群と指数写像
SO(n, C) は連結✓補題 5.1・Wightman 関数の解析性

Spin(n) は SO(n) の連結な 2 重被覆

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件