閉部分群定理（行列 Lie 群版）

定理 4.2（「行列 Lie 群と指数写像」§4）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を行列 Lie 群、 $\mathfrak{g}$ をその Lie 環とする。このとき $0\in M_n(\mathbb{C})$ の開近傍 $U$ と $I$ の開近傍 $V$ で、 $\exp\colon U\to V$ が微分同相であり、かつ

\exp(U\cap\mathfrak{g})=V\cap G

となるものが存在する。したがって $G$ は $GL(n,\mathbb{C})$ の $\dim_{\mathbb{R}}\mathfrak{g}$ 次元の埋め込み部分多様体であり、相対位相と誘導される多様体構造について Lie 群で、 $T_IG=\mathfrak{g}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
- 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
  - 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
    単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
    三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面この先をたどる →
    共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面この先をたどる →
    比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
    絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定この先をたどる →
    数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 6 件

μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
水平持ち上げ✓定理 7.1・ファイバー束・主束と接続
連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像
単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理）✓定理 7.1・行列 Lie 群と指数写像
微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像
ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1

閉部分群定理（行列 Lie 群版）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件