数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › 行列 Lie 群と指数写像
単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理）
を行列 Lie 群とし、 は連結かつ単連結とする。任意の Lie 環準同型 に対し、 を満たす連続（したがって滑らかな）群準同型 がただ 1 つ存在する。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 38 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
系 5.2✓行列 Lie 群と指数写像
連結リー群は指数写像の像で生成される✓系 6.5・リー群とリー環
- 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環（上で展開済み）
左移動による等質性✓命題 3.4・リー群とリー環
- リー群定義 3.1・リー群とリー環
- 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル この先をたどる →
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
- 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
- Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
- 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
- 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
- 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定
正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定
- 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面 この先をたどる →
- 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面 この先をたどる →
- 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
- 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定 この先をたどる →
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
- 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
- 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定 この先をたどる →
- 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
- 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像
- 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像
- 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
- 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
- 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- SL(2,C) の有限次元表現の分類✓定理 4.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現