数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › Lorentz 群・Poincaré 群の表現

SL(2,C) の有限次元表現の分類

定理 4.1（「Lorentz 群・Poincaré 群の表現」§4）・ ✓公理まで証明済み

$D^{(j_1,j_2)}$ は $(2j_1+1)(2j_2+1)$ 次元の既約表現で、 $(j_1,j_2)\ne(j_1',j_2')$ なら非同型である。
$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の連続な有限次元既約表現は、ただ 1 つの $D^{(j_1,j_2)}$ と同値である。
$D^{(j_1,j_2)}$ の $SU(2)$ への制限は $\pi_{|j_1-j_2|}\oplus\pi_{|j_1-j_2|+1}\oplus\cdots\oplus\pi_{j_1+j_2}$ と分解する（ $\pi_j$ はスピン $j$ の既約表現）。
$D^{(j_1,j_2)}$ が $SO^+(1,3)$ の表現を誘導する（ $-I$ を恒等写像で表す）ための必要十分条件は $j_1+j_2\in\mathbb{Z}$ である。
ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類の生成子で読むと、 $D^{(j_1,j_2)}$ では $\mathcal{A}^i$ がスピン $j_1$ 、 $\mathcal{B}^i$ がスピン $j_2$ の表現行列として作用する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 98 件、定義なども含めて 110 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像
- 連続な 1 径数部分群✓補題 4.4・行列 Lie 群と指数写像
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
- Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環（上で展開済み）
  - Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理）✓定理 7.1・行列 Lie 群と指数写像
- 系 5.2✓行列 Lie 群と指数写像
  - 連結リー群は指数写像の像で生成される✓系 6.5・リー群とリー環（上で展開済み）
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
- 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
- BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像
  - 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  - 指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像
    随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
  - 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
  - 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定この先をたどる →
連結リー群は指数写像の像で生成される✓系 6.5・リー群とリー環
- 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環
  - 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
- 左移動による等質性✓命題 3.4・リー群とリー環
  - リー群定義 3.1・リー群とリー環
  - 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
sl(2,C) の複素化✓補題 3.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
sl(2,C) の有限次元加群の構造✓系 10.2・Lie 環の構造論
- Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論
  - 単純イデアルへの分解✓定理 8.2・Lie 環の構造論
    Cartan の判定法✓定理 7.2・Lie 環の構造論この先をたどる →
  - Casimir 作用素の性質✓補題 9.1・Lie 環の構造論
直和 Lie 環の既約表現✓補題 3.2・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- Weyl の完全可約性定理✓定理 9.2・Lie 環の構造論（上で展開済み）
Clebsch–Gordan 分解✓定理 4.8・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- 重複度の公式と指標による判定✓系 3.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 指標の直交関係✓定理 3.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- SU(2) の共役類✓補題 4.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- $V_j$ はユニタリ表現✓命題 4.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- 指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
SL(2,C) による 2 対 1 被覆✓定理 3.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- ローレンツ群の連結成分✓命題 3.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類

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有限次元既約表現の分類✓定理 4.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類

SL(2,C) の有限次元表現の分類

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

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