ローレンツ群の連結成分

$\Lambda \in O(1,3)$ について次が成り立ちます。

1. $\det\Lambda = \pm1$ かつ $|\Lambda^0{}_0| \ge 1$。
2. $\mathcal{L}^\uparrow_+$ は $O(1,3)$ の部分群です。
3. 任意の $\Lambda\in\mathcal{L}^\uparrow_+$ は、空間回転 $R_1,R_2 \in SO(3)$ と $x^3$ 方向のブースト $B_3(\eta)$（$\eta\in\mathbb{R}$）を用いて $\Lambda = R_1B_3(\eta)R_2$ と書けます。特に $\mathcal{L}^\uparrow_+$ は連結です。
4. $O(1,3)$ はちょうど 4 つの連結成分 $\mathcal{L}^\uparrow_+$、$\mathsf P\mathcal{L}^\uparrow_+$、$\mathsf T\mathcal{L}^\uparrow_+$、$\mathsf{PT}\mathcal{L}^\uparrow_+$ に分かれます。