SL(2,C) による 2 対 1 被覆

$A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ に対し、線形写像 $\Lambda(A):\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ を

で定めます。このとき次が成り立ちます。

1. $\Lambda(A)\in\mathcal{L}^\uparrow_+$ であり、$A\mapsto\Lambda(A)$ は連続な群準同型です。
2. この準同型は全射で、核は $\lbrace\mathbb{1},-\mathbb{1}\rbrace$ です。したがって $\mathcal{L}^\uparrow_+ \cong \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})/\lbrace\pm\mathbb{1}\rbrace$ です。
3. $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ は単連結です。したがって $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ は $\mathcal{L}^\uparrow_+$ の普遍被覆群であり、$\pi_1(\mathcal{L}^\uparrow_+) \cong \mathbb{Z}_2$ です。