質量ゼロの小群とその生成子

$k = (\kappa,0,0,\kappa)$（$\kappa\gt0$）とし、$\theta\in\mathbb{R}$、$z\in\mathbb{C}$ について $A(\theta,z) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & z\\ 0 & e^{i\theta/2}\end{pmatrix}$ とおく。

1. $G_k = \lbrace A(\theta,z) : \theta\in[0,4\pi),\ z\in\mathbb{C}\rbrace$。
2. $A(\theta,z)A(\theta',z') = A(\theta+\theta',\ e^{-i\theta/2}z' + e^{i\theta'/2}z)$。特に $\lbrace A(0,z)\rbrace$ は $\mathbb{C}$ と同型な可換正規部分群で、$A(\theta,0)A(0,z)A(\theta,0)^{-1} = A(0,e^{-i\theta}z)$。
3. $(0,\tfrac12)$ 表現での生成子の行列 $J^i = \sigma^i/2$、$K^i = i\sigma^i/2$（命題 5.3 の 4 の下段）について、$t\in\mathbb{R}$ のとき $$A(\theta,0) = \exp(-i\theta J^3),\qquad A(0,t) = \exp\bigl(it(J^2 - K^1)\bigr),\qquad A(0,it) = \exp\bigl(it(J^1 + K^2)\bigr).$$