数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › Lorentz 群・Poincaré 群の表現

質量正・質量ゼロの粒子表現

系 7.1（「Lorentz 群・Poincaré 群の表現」§7）・ ✓公理まで証明済み

$m\gt0$ 、 $s\in\frac12\mathbb{Z}_{\ge0}$ について、 $U_{m,s}=U^{\Omega_m^+,\pi_s}$ は既約で、 $(m,s)\ne(m',s')$ なら同値でない。
$h\in\frac12\mathbb{Z}$ について、 $U_{0,h}=U^{\Omega_0^+,\chi_h}$ （ $\chi_h(A(\theta,z))=e^{-ih\theta}$ ）は既約で、 $h\ne h'$ なら同値でない。
光錐の小群 $G_k$ の有限次元既約ユニタリ表現は $\chi_h$ （ $h\in\frac12\mathbb{Z}$ ）に限る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 81 件、定義なども含めて 90 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

SU(2) の既約表現の分類✓定理 4.6・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- $V_j$ はユニタリ表現✓命題 4.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- Weyl の積分公式（SU(2)）✓定理 4.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度
    モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度（上で展開済み）
    Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度この先をたどる →
    Haar 測度は開集合で正✓命題 3.6・Haar 測度
  - SU(2) の共役類✓補題 4.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- 重複度の公式と指標による判定✓系 3.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 指標の直交関係✓定理 3.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
誘導表現の既約性と同値類✓定理 6.5・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- 有限測度の Fourier 変換の一意性✓補題 6.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 掛け算作用素の可換子✓補題 6.2・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- 軌道写像と零集合✓補題 6.3・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - 沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Lie 群の Haar 測度と Maurer–Cartan 形式✓命題 6.1・Haar 測度
    Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度この先をたどる →
- 左不変な可測関数は定数✓補題 6.4・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度
    $C_c$ 関数の一様連続性✓補題 2.3・Haar 測度
    Haar 測度の存在と一意性✓定理 3.2・Haar 測度この先をたどる →
- Schur の補題✓定理 3.1・Peter–Weyl の定理
質量ゼロの小群とその生成子✓補題 7.7・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- SL(2,C) による 2 対 1 被覆✓定理 3.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
  - ローレンツ群の連結成分✓命題 3.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
有限次元ユニタリ表現の完全可約性✓命題 2.2・Peter–Weyl の定理
可換群の既約表現は 1 次元✓系 3.2・Peter–Weyl の定理
- Schur の補題✓定理 3.1・Peter–Weyl の定理
Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
- 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群

これを使っている定理証明で参照している 2 件

ウィグナーの分類：質量正の場合△定理 7.5・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
ウィグナーの分類：質量ゼロの場合とヘリシティ△定理 7.9・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類

質量正・質量ゼロの粒子表現

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件