物理学 › 場の量子論 › ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類

ウィグナーの分類：質量正の場合

定理 7.5（「ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類」§7） ・ △証明あり（閉包未完）

m>0m > 0 と s∈{0,12,1,32,…}s\in\lbrace0,\tfrac12,1,\tfrac32,\ldots\rbrace に対し、D(s)D^{(s)} を SU(2)SU(2) のスピン ss の既約ユニタリ表現とし、

Hm,s=L2(Ωm+, dμm; C2s+1),(Um,s(a,A)ψ)(p)=eip⋅a D(s)(W(A,Λ−1p)) ψ(Λ−1p)\mathcal{H}_{m,s} = L^2\big(\Omega_m^+,\ d\mu_m;\ \mathbb{C}^{2s+1}\big),\qquad \big(U_{m,s}(a,A)\psi\big)(p) = e^{ip\cdot a}\,D^{(s)}\big(W(A,\Lambda^{-1}p)\big)\,\psi(\Lambda^{-1}p)

（Λ=Λ(A)\Lambda = \Lambda(A)、dμmd\mu_m は 例 7.2 の不変測度、L(p)L(p) は上で選んだ標準ブースト）と定めます。このとき次が成り立ちます。

  1. Um,sU_{m,s} は P~\tilde{\mathcal{P}} の強連続ユニタリ表現です。
  2. Hm,s\mathcal{H}_{m,s} 上で P2=m2P^2 = m^2、W2=−m2s(s+1)W^2 = -m^2s(s+1) です。
  3. Um,sU_{m,s} は既約であり、(m,s)≠(m′,s′)(m,s)\ne(m',s') ならば Um,sU_{m,s} と Um′,s′U_{m',s'} はユニタリ同値ではありません。
  4. 逆に、P~\tilde{\mathcal{P}} の既約な強連続ユニタリ表現で、PP の同時スペクトルが Ωm+\Omega_m^+ に含まれるものは、ある ss について Um,sU_{m,s} とユニタリ同値です。

ss を粒子のスピンと呼びます。ss が半整数の表現は (0,−1)(0,-\mathbb{1}) を −1-1 で表現し、P+↑\mathcal{P}^\uparrow_+ の射影表現になります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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