小群の表現への帰着

$U$ を $\tilde{\mathcal{P}}$ のユニタリ表現とし、運動量 $k$ の（一般化）固有ベクトル $|k,\sigma\rangle$（$\sigma = 1,\ldots,n$）が $P = k$ の固有空間の正規直交基底をなすとします。このとき

1. $A\in G_k$ に対して $U(0,A)|k,\sigma\rangle = \sum_{\sigma'}D_{\sigma'\sigma}(A)|k,\sigma'\rangle$ と書け、$D$ は $G_k$ の $n$ 次元ユニタリ表現です。
2. $|p,\sigma\rangle = U(0,L(p))|k,\sigma\rangle$ と定めると、$P^\mu|p,\sigma\rangle = p^\mu|p,\sigma\rangle$ であり、任意の $(a,A)\in\tilde{\mathcal{P}}$ に対して

が成り立ちます。 3. $U$ が既約ならば $D$ も既約です。