ウィグナーの分類：質量ゼロの場合とヘリシティ

定理 7.9（「ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類」§7）・ △証明あり（閉包未完）

$U$ を $\tilde{\mathcal{P}}$ の既約な強連続ユニタリ表現とし、 $P$ の同時スペクトルが $\Omega_0^+$ に含まれ、さらに運動量 $k = (\kappa,0,0,\kappa)$ の固有空間が有限次元であるとします。このとき次が成り立ちます。

小群 $G_k$ の表現 $D$ は 1 次元で、ある $h\in\tfrac12\mathbb{Z}$ に対して $D(A(\theta,z)) = e^{-ih\theta}$ です。特に小群の「並進」 $A(0,z)$ は自明に作用します。
$U$ 上で $P^2 = 0$ 、 $W^\mu = hP^\mu$ が成り立ちます。とくに $W^2 = 0$ で、 $h = \boldsymbol J\cdot\boldsymbol P/|\boldsymbol P|$ です。
各 $h\in\tfrac12\mathbb{Z}$ に対して、条件を満たす既約表現 $U_{0,h}$ がユニタリ同値を除いてちょうど 1 つ存在し、 $\mathcal{H}_{0,h} = L^2(\Omega_0^+,d\mu_0)$ 、 $(U_{0,h}(a,A)\psi)(p) = e^{ip\cdot a}\,e^{-ih\theta(A,\Lambda^{-1}p)}\,\psi(\Lambda^{-1}p)$ で与えられます。ここで $d\mu_0 = d^3p/((2\pi)^3 2|\boldsymbol p|)$ 、 $\theta(A,p)$ は $W(A,p) = A(\theta,z)$ の角度成分です。

$h$ をヘリシティと呼びます。 $h$ と $-h$ の表現は $\mathcal{P}^\uparrow_+$ の下では別の粒子ですが、パリティ $\mathsf P$ はそれらを入れ替えます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

Mackey の定理（主張）※定理 7.3・Lorentz 群・Poincaré 群の表現

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

小群の表現への帰着✓命題 7.4・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- ポアンカレ代数✓命題 6.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
  - ローレンツ代数の交換関係と su(2) ⊕ su(2) への分解✓命題 4.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- 小群と標準ブースト定義 7.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
カシミール演算子✓命題 6.4・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- ポアンカレ代数✓命題 6.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類（上で展開済み）
パウリ–ルバンスキーベクトル定義 6.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
質量ゼロの小群とその生成子✓補題 7.7・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
- SL(2,C) による 2 対 1 被覆✓定理 3.3・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
  - ローレンツ群の連結成分✓命題 3.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
誘導表現は強連続ユニタリ表現✓定理 5.3・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- 軌道上の不変測度✓補題 5.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - ローレンツ群の連結成分✓命題 3.2・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類
  - 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
質量正・質量ゼロの粒子表現✓系 7.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
- SU(2) の既約表現の分類✓定理 4.6・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - $V_j$ はユニタリ表現✓命題 4.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - Weyl の積分公式（SU(2)）✓定理 4.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
    コンパクト群の正規化 Haar 測度✓定理 5.1・Haar 測度この先をたどる →
    SU(2) の共役類✓補題 4.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現
  - 重複度の公式と指標による判定✓系 3.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現この先をたどる →
- 誘導表現の既約性と同値類✓定理 6.5・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - 有限測度の Fourier 変換の一意性✓補題 6.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現この先をたどる →
  - 掛け算作用素の可換子✓補題 6.2・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
  - 軌道写像と零集合✓補題 6.3・Lorentz 群・Poincaré 群の表現この先をたどる →
  - 左不変な可測関数は定数✓補題 6.4・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
    モジュラー関数の性質✓命題 4.2・Haar 測度この先をたどる →
  - Schur の補題✓定理 3.1・Peter–Weyl の定理
- 質量ゼロの小群とその生成子✓補題 7.7・ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類（上で展開済み）
- 有限次元ユニタリ表現の完全可約性✓命題 2.2・Peter–Weyl の定理
- 可換群の既約表現は 1 次元✓系 3.2・Peter–Weyl の定理
  - Schur の補題✓定理 3.1・Peter–Weyl の定理
- Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
Mackey の定理（主張）※定理 7.3・Lorentz 群・Poincaré 群の表現

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γ 崩壊の選択則△定理 7.1・原子核

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