ローレンツ代数の交換関係と su(2) ⊕ su(2) への分解

命題 4.2（「ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類」§4）・ ✓公理まで証明済み

定義 4.1 の生成子は

[J^{\mu\nu},J^{\rho\sigma}] = i\left(\eta^{\nu\rho}J^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho}J^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma}J^{\mu\rho} + \eta^{\mu\sigma}J^{\nu\rho}\right)

を満たし、成分で書くと

[J^i,J^j] = i\epsilon^{ijk}J^k,\qquad [J^i,K^j] = i\epsilon^{ijk}K^k,\qquad [K^i,K^j] = -i\epsilon^{ijk}J^k

です。複素線形結合 $\mathcal{A}^i = \tfrac12(J^i + iK^i)$ 、 $\mathcal{B}^i = \tfrac12(J^i - iK^i)$ を作ると

[\mathcal{A}^i,\mathcal{A}^j] = i\epsilon^{ijk}\mathcal{A}^k,\qquad [\mathcal{B}^i,\mathcal{B}^j] = i\epsilon^{ijk}\mathcal{B}^k,\qquad [\mathcal{A}^i,\mathcal{B}^j] = 0

が成り立ちます。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。