スピノル表現

定義 5.1 の $S^{\mu\nu}$ について次が成り立ちます。

1. $[\gamma^\mu,S^{\rho\sigma}] = (J^{\rho\sigma})^\mu{}_\nu\,\gamma^\nu$。
2. $S^{\mu\nu}$ は 命題 4.2 と同じ交換関係を満たします。したがって $\Lambda = \exp(-\tfrac{i}{2}\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu})$ に対して $S(\Lambda) = \exp(-\tfrac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu})$ とおくと、これは $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ の 4 次元表現を定めます。
3. $S(\Lambda)^{-1}\gamma^\mu S(\Lambda) = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu$。
4. ワイル表示では $S^{0i} = -\tfrac{i}{2}\begin{pmatrix}\sigma^i & 0\\ 0 & -\sigma^i\end{pmatrix}$、$\tfrac12\epsilon^{ijk}S^{jk} = \tfrac12\begin{pmatrix}\sigma^i & 0\\ 0&\sigma^i\end{pmatrix}$ であり、$A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ に対応する元は

です。特に $S(\Lambda(-\mathbb{1})) = -\mathbb{1}_4$ で、これは $\mathcal{L}^\uparrow_+$ の表現ではなく、その 2 重被覆の表現です。