変数変換公式（ルベーグ積分版）

定理 4.5（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§4）・ ✓公理まで証明済み

$U,V\subseteq\mathbb{R}^d$ を開集合、 $\Phi:U\to V$ を $C^1$ 微分同相とする。

任意のボレル集合 $E\subseteq U$ について $\Phi(E)$ はボレル集合で、 $m(\Phi(E))=\int_E|\det D\Phi(x)|\,dx$ 。
任意のボレル関数 $f:V\to[0,\infty]$ について $\int_Vf(y)\,dy=\int_Uf(\Phi(x))\,|\det D\Phi(x)|\,dx .$
ボレル関数 $f:V\to\mathbb{R}$ （または $\mathbb{C}$ ）について、 $f\in L^1(V)$ と $(f\circ\Phi)\,|\det D\Phi|\in L^1(U)$ は同値で、そのとき 2 の等式が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 71 件、定義なども含めて 83 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
  - 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 15 件

Box–Muller 法と極座標法✓命題 5.2・分布からの標本抽出
一様乱数の比✓命題 5.6・分布からの標本抽出
単数の作用の基本錐✓補題 4.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開
軌道上の不変測度✓補題 5.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
ルベーグ可測集合と零集合の保存✓系 4.6・ℝ^d の変数変換公式と極座標
1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標
例外集合を許す変数変換公式✓系 5.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
格子 Green 関数の漸近形✓補題 2.4・厳密くりこみ群
δ 関数の線形化✓命題 6.7・準備 1
大場の領域のもとでの揺らぎ積分の表示（原論文 (13)–(22)、(49)–(55)）✓命題 4.19・準備 5
大場領域の近くの変数変換（原論文 (1.22)(1.23)）✓命題 8.2・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
SU(2) リンクの条件付き分布✓命題 3.6・格子場のモンテカルロ法
Weinberg の収束定理（質量のあるユークリッドのスカラー場）✓定理 5.8・くりこみ理論入門

変数変換公式（ルベーグ積分版）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理 証明で参照している 15 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理証明で参照している 15 件