Box–Muller 法と極座標法

命題 5.2（「分布からの標本抽出」§5）・ ✓公理まで証明済み

$U_1, U_2$ を独立な $\mathrm{U}(0,1)$ の確率変数とする。このとき $X = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2), \qquad Y = \sqrt{-2\ln U_1}\,\sin(2\pi U_2)$ は独立で、どちらも標準正規分布に従う。
$(V_1, V_2)$ を穴あき円板 $D = \{0 < v_1^2 + v_2^2 < 1\}$ 上の一様分布に従う確率変数とし、 $S = V_1^2 + V_2^2$ と置く。このとき $X = V_1\sqrt{\frac{-2\ln S}{S}}, \qquad Y = V_2\sqrt{\frac{-2\ln S}{S}}$ は独立で、どちらも標準正規分布に従う。 $(V_1, V_2)$ を正方形 $(-1,1)^2$ 上の一様分布からの棄却法で作るとき、採択率は $\pi/4$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 93 件、定義なども含めて 108 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

独立な確率変数の同時密度✓補題 2.2・分布からの標本抽出
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ボレル集合族の直積✓命題 2.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
単射な局所微分同相は微分同相✓補題 4.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質（上で展開済み）
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
棄却法の正しさ✓定理 4.2・分布からの標本抽出
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 幾何分布定義 3.4・確率分布と統計的な推測
- 幾何分布の性質✓定理 3.5・確率分布と統計的な推測この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Box–Muller 法と極座標法

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）