棄却法の正しさ

定理 4.2（「分布からの標本抽出」§4）・ ✓公理まで証明済み

定義 4.1 の設定で、 $h = \min(f, Mg)$ と置く。 $\int h > 0$ とする。

採択率は $p = \frac1M\int h$ で、 $\tau$ は成功確率 $p$ の幾何分布に従う。特に $\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1$ 、 $\mathbb{E}[\tau] = 1/p$ である。
出力 $X = Y_\tau$ は密度 $h/\int h$ をもち、 $\tau$ と独立である。
包絡条件 $f(y) \le Mg(y)$ （すべての $y$ ）が成り立つとき、 $X$ の密度は $f/\int f$ で、採択率は $\int f/M$ である。 $f$ が確率密度なら採択率は $1/M$ 、試行回数の平均は $M$ である。
包絡条件が破れていて、 $E = \{f > Mg\}$ と $E^c \cap \{f > 0\}$ がどちらも正のルベーグ測度をもつならば、 $X$ の密度 $h/\int h$ は $f/\int f$ と一致しない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 30 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
幾何分布定義 3.4・確率分布と統計的な推測
幾何分布の性質✓定理 3.5・確率分布と統計的な推測
- 等比級数✓命題 6.2・数とは何か
  - 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    整列性公理 3.1・証明の技術
  - アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何か
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
  - 上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
  - 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定
    一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定（上で展開済み）
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
    有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定この先をたどる →
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定
    無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Box–Muller 法と極座標法✓命題 5.2・分布からの標本抽出
球面と球の上の一様分布✓命題 5.5・分布からの標本抽出

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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