球面と球の上の一様分布

命題 5.5（「分布からの標本抽出」§5）・ ✓公理まで証明済み

$Z = (Z_1, \ldots, Z_d)$ を独立な標準正規変数の列とすると、 $Z/|Z|$ は $S^{d-1}$ 上の一様分布に従う。
立方体 $(-1,1)^d$ 上の一様分布を提案とする棄却法で単位球 $\{|x| < 1\}$ 上の一様分布を作るとき、採択率は $a_d = \frac{\pi^{d/2}}{2^d\,\Gamma(d/2 + 1)}$ で、 $a_{d+2}/a_d = \pi/(2d + 4)$ を満たす。特に $d \to \infty$ で $a_d \to 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 120 件、定義なども含めて 139 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

独立な確率変数の同時密度✓補題 2.2・分布からの標本抽出
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ボレル集合族の直積✓命題 2.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
$ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 極座標側のボレル集合族✓補題 6.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - ボレル集合族の直積✓命題 2.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
棄却法の正しさ✓定理 4.2・分布からの標本抽出
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 幾何分布定義 3.4・確率分布と統計的な推測
- 幾何分布の性質✓定理 3.5・確率分布と統計的な推測
  - 等比級数✓命題 6.2・数とは何かこの先をたどる →
  - ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定この先をたどる →
球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
- 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数（上で展開済み）
ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- ガンマ積分の収束✓命題 5.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
- ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

球面と球の上の一様分布

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）