数学 › 解析学（実解析） › ℝ^d の変数変換公式と極座標

球の体積と球面の面積

定理 6.8（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 108 件、定義なども含めて 126 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

  • 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

    • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    • 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

      • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分

    • 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法 この先をたどる →
    • 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
• リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 極座標側のボレル集合族✓補題 6.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
• 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• ガンマ関数の関数等式✓定理 5.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数

  • 部分積分✓定理 6.2・積分の基本定理と定積分

    • 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法 この先をたどる →
    • 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
  • ガンマ積分の収束✓命題 5.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
  • ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 球面と球の上の一様分布✓命題 5.5・分布からの標本抽出
• Gauss の円問題（$O(r)$ の評価）✓定理 7.4・図形と方程式
• 球の体積✓命題 4.1・立体の体積・球面・多面体
• ノルム球の体積✓補題 4.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
• S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標