数学 › 解析学（実解析） › ℝ^d の変数変換公式と極座標

1 次元の置換積分（二乗の場合）

命題 4.7（「ℝ^d の変数変換公式と極座標」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 87 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

  • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質

    • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
      • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質

      • 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
    • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
  • 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性

    • コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性 この先をたどる →
    • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
  • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間 この先をたどる →
    • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  • 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 最大値ノルムでの平均値不等式✓補題 4.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
    • 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
    • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
  • 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標