数学 › 位相空間論 › コンパクト性

最大値・最小値の定理

系 6.2（「コンパクト性」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を空でないコンパクト位相空間、 $f \colon X \to \mathbb{R}$ を連続関数とする。このとき $f$ は有界であり、しかも最大値と最小値を実際にとる。すなわち $x_{\max}, x_{\min} \in X$ が存在して、すべての $x \in X$ について

f(x_{\min}) \le f(x) \le f(x_{\max})

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
- 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 11 件

完備な Archimedes 的付値体は ℝ か ℂ✓定理 8.1・付値と完備化
Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性
分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相
最大フローの存在✓補題 4.7・連結度とネットワークフロー
クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
有限次元のノルムの同値性✓補題 3.2・行列のノルムと線形方程式の条件数
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
閉凸集合と点の強分離✓補題 5.4・凸解析
局所的なゲージの共変な選び方✓補題 7.8・Dimock『Multiscale block averaging for QED₃』精読第 2 部

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