分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）

定理 4.3（「局所凸空間と弱位相」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を局所凸空間、 $A\subset X$ を空でないコンパクト凸集合、 $B\subset X$ を空でない閉凸集合とし、 $A\cap B=\emptyset$ とする。このとき連続な線形汎関数 $F$ と $\gamma_1<\gamma_2$ が存在して、全 $a\in A$ , $b\in B$ で $\mathrm{Re}\,F(a)<\gamma_1<\gamma_2<\mathrm{Re}\,F(b)$ となる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相
- Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
- Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
- Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
  - 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 10 件

Hahn–Banach の分離定理✓定理 3.5・Banach 空間の基本定理
双対錐による判定✓補題 6.2・Fredholm 理論
双対空間は点を分離する✓系 4.4・局所凸空間と弱位相
Mazur の定理✓定理 5.5・局所凸空間と弱位相
Krein–Milman の定理✓定理 7.2・局所凸空間と弱位相
Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算
重心の存在と一意性✓補題 2.2・状態の凸分解
線形 Radon–Nikodym 補題✓補題 4.1・冨田–竹崎の定理の証明
Kaplansky の稠密性定理✓定理 3.8・von Neumann 環と二重可換子定理
Jost の定理（Jost 点の特徴づけ）✓定理 6.2・Wightman 関数の解析性

分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 10 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 10 件