Bochner 積分の基本性質

命題 3.6（「ベクトル値解析と関数計算」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f,g$ を Bochner 可積分とする。

$\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$ 、 $\bigl\|\int f\bigr\|\le\int\|f\|$ 。
$T\in\mathcal{B}(X,Y)$ なら $Tf$ は Bochner 可積分で $T\int f=\int Tf$ 。とくに $\varphi(\int f)=\int\varphi\circ f$ （ $\varphi\in X^*$ ）。
（優収束定理） $f_n$ が強可測で a.e. に $f$ に収束し、可積分なスカラー関数 $h$ で $\|f_n\|\le h$ ならば、 $f$ は Bochner 可積分で $\bigl\|\int f_n-\int f\bigr\|\le\int\|f_n-f\|\to0$ 。
$f$ がほとんどいたるところで閉部分空間 $M$ に値をとるなら $\int f\in M$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

系 3.3✓ベクトル値解析と関数計算
- Pettis の可測性定理✓定理 3.2・ベクトル値解析と関数計算
  - ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理（上で展開済み）
Bochner の定理✓定理 3.5・ベクトル値解析と関数計算
分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相
- コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
- 分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相
  - Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
  - Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
  - Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
    閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 7 件

⊙-双対の構造✓定理 8.2・Banach 空間の強連続半群
Hille の定理（閉作用素と積分の交換）✓定理 3.7・ベクトル値解析と関数計算
微積分の基本定理と平均値の不等式✓定理 4.1・ベクトル値解析と関数計算
大域的 Cauchy の定理✓定理 5.5・ベクトル値解析と関数計算
Riesz–Dunford の関数計算✓定理 6.2・ベクトル値解析と関数計算
代数的公式から Taylor 公式を得る（原論文の §III の証明）✓命題 6.3・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1
切断付きの Feynman–Kac–Nelson 公式✓補題 4.3・P(φ)₂ 模型の構成

Bochner 積分の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件