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微積分の基本定理と平均値の不等式

定理 4.1（「ベクトル値解析と関数計算」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f:[a,b]\to X$ が連続なら、 $F(t)=\int_a^tf(s)\,ds$ は微分可能で $F'=f$ 。
$F:[a,b]\to X$ が微分可能で $F'$ が連続なら、 $F(b)-F(a)=\int_a^bF'(t)\,dt$ 。
$F:[a,b]\to X$ が連続で $(a,b)$ 上微分可能なら、 $\|F(b)-F(a)\|\le(b-a)\sup_{a<t<b}\|F'(t)\|$ 。とくに $F'=0$ なら $F$ は定数。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算
- 系 3.3✓ベクトル値解析と関数計算
  - Pettis の可測性定理✓定理 3.2・ベクトル値解析と関数計算
    ノルムを実現する汎関数✓系 3.4・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
- Bochner の定理✓定理 3.5・ベクトル値解析と関数計算
- 分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相
  - コンパクト集合と閉集合のすき間✓補題 4.2・局所凸空間と弱位相
  - 分離定理（開凸集合）✓定理 4.1・局所凸空間と弱位相
    Minkowski 汎関数✓補題 3.4・局所凸空間と弱位相
    Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
    Hahn–Banach の拡張定理（複素・ノルム空間版）✓定理 3.3・Banach 空間の基本定理この先をたどる →
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

生成子は半群を決める✓補題 2.2・Banach 空間の強連続半群
Hille–吉田の定理（証明つき）✓定理 3.1・Banach 空間の強連続半群
時間順序指数（Dyson 展開）✓定理 5.2・Banach 空間の強連続半群
⊙-双対の構造✓定理 8.2・Banach 空間の強連続半群