数学 › 関数解析と作用素論 › Banach 空間の強連続半群

時間順序指数（Dyson 展開）

定理 5.2（「Banach 空間の強連続半群」§5） ・ ✓公理まで証明済み

LL, TT, MM, ω\omega を上のとおりとし、B:[0,∞)→B(X)B:[0,\infty)\to\mathcal{B}(X) を強連続とする。0≤s≤t0\le s\le t について U0(t,s)=T(t−s)U_0(t,s)=T(t-s)、Un+1(t,s)x=∫stT(t−r)B(r)Un(r,s)x drU_{n+1}(t,s)x=\int_s^tT(t-r)B(r)U_n(r,s)x\,dr と置くと、

Un(t,s)=∫s≤r1≤⋯≤rn≤tT(t−rn)B(rn)T(rn−rn−1)⋯B(r1)T(r1−s) dr1⋯drnU_n(t,s)=\int_{s\le r_1\le\cdots\le r_n\le t}T(t-r_n)B(r_n)T(r_n-r_{n-1})\cdots B(r_1)T(r_1-s)\,dr_1\cdots dr_n

（強収束の意味の積分）で、∥Un(t,s)∥≤Mn+1bn(t−s)neω(t−s)/n!\|U_n(t,s)\|\le M^{n+1}b^n(t-s)^ne^{\omega(t-s)}/n!（b=sup⁡[s,t]∥B∥<∞b=\sup_{[s,t]}\|B\|<\infty）。U(t,s)=∑nUn(t,s)U(t,s)=\sum_nU_n(t,s) は

U(t,s)x=T(t−s)x+∫stT(t−r)B(r)U(r,s)x drU(t,s)x=T(t-s)x+\int_s^tT(t-r)B(r)U(r,s)x\,dr

のただ 1 つの強連続な解で、U(t,r)U(r,s)=U(t,s)U(t,r)U(r,s)=U(t,s)（s≤r≤ts\le r\le t）、U(s,s)=1U(s,s)=1 を満たす。L=0L=0 で BB がノルム連続なら、U(t,s)U(t,s) は ∂tU(t,s)=B(t)U(t,s)\partial_tU(t,s)=B(t)U(t,s) の解で

U(t,s)=1+∑n≥1∫s≤r1≤⋯≤rn≤tB(rn)⋯B(r1) dr1⋯drn=:Texp⁡∫stB(r) dr.U(t,s)=1+\sum_{n\ge1}\int_{s\le r_1\le\cdots\le r_n\le t}B(r_n)\cdots B(r_1)\,dr_1\cdots dr_n=:\mathcal{T}\exp\int_s^tB(r)\,dr .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 30 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件