有界摂動と Dyson–Phillips 級数

定理 5.1（「Banach 空間の強連続半群」§5）・ ✓公理まで証明済み

$L$ を $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$ を満たす強連続半群 $T$ の生成子、 $B\in\mathcal{B}(X)$ とする。 $S_0(t)=T(t)$ 、

S_{n+1}(t)x=\int_0^tT(t-s)BS_n(s)x\,ds

と置くと、 $\|S_n(t)\|\le M^{n+1}\|B\|^nt^ne^{\omega t}/n!$ で、 $S(t)=\sum_{n\ge0}S_n(t)$ はコンパクトな $t$ 区間上一様にノルム収束する。 $S$ は $L+B$ （定義域 $D(L)$ ）を生成子とする強連続半群で、 $\|S(t)\|\le Me^{(\omega+M\|B\|)t}$ であり、Duhamel 公式

S(t)x=T(t)x+\int_0^tT(t-s)BS(s)x\,ds

を満たす強連続な作用素族は $S$ だけである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

強連続族の積✓補題 2.1・Banach 空間の強連続半群
Volterra 型不等式の一意性✓補題 2.3・Banach 空間の強連続半群
強連続半群の基本性質✓命題 4.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  - 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
Hille–吉田の定理（証明つき）✓定理 3.1・Banach 空間の強連続半群
- 強連続半群の基本性質✓命題 4.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群（上で展開済み）
- 微積分の基本定理と平均値の不等式✓定理 4.1・ベクトル値解析と関数計算
  - Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算
    系 3.3✓ベクトル値解析と関数計算この先をたどる →
    Bochner の定理✓定理 3.5・ベクトル値解析と関数計算
    分離定理（コンパクト凸集合と閉凸集合）✓定理 4.3・局所凸空間と弱位相この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

時間順序指数（Dyson 展開）✓定理 5.2・Banach 空間の強連続半群
KMS 状態の摂動（Araki）✓定理 6.1・Liouvillean と熱平衡への回帰
Anderson–Yuval–Hamann の Coulomb 気体表示✓定理 6.4・spin-boson・Kondo・共鳴準位模型

有界摂動と Dyson–Phillips 級数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件