数学 › 関数解析と作用素論 › 1 径数ユニタリ群と強連続半群

強連続半群の基本性質

命題 4.2（「1 径数ユニタリ群と強連続半群」§4）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を強連続半群、 $L$ をその生成子とする。

定数 $M\ge 1$ 、 $\omega\in\mathbb{R}$ があって $\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$ 。
$D(L)$ は稠密で $L$ は閉作用素。 $x\in D(L)$ なら $T(t)x\in D(L)$ 、 $\frac{d}{dt}T(t)x = LT(t)x=T(t)Lx$ 、 $T(t)x-x=\int_0^tT(s)Lx\,ds$ 。
$\mathrm{Re}\,\lambda>\omega$ なら $\lambda$ は $L$ のレゾルベント集合に属し、 $(\lambda-L)^{-1}x=\int_0^\infty e^{-\lambda t}T(t)x\,dt$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群
- 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
- 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群

これを使っている定理証明で参照している 9 件

半群の指数公式✓系 7.2・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理
生成子は半群を決める✓補題 2.2・Banach 空間の強連続半群
Hille–吉田の定理（証明つき）✓定理 3.1・Banach 空間の強連続半群
有界摂動と Dyson–Phillips 級数✓定理 5.1・Banach 空間の強連続半群
Trotter–Kato の近似定理✓定理 6.1・Banach 空間の強連続半群
⊙-双対の構造✓定理 8.2・Banach 空間の強連続半群
局所元は生成子の芯✓命題 4.4・量子スピン系
Feller 半群の基本性質✓命題 3.2・Feller 過程と Feynman–Kac
Feynman–Kac 公式（有界一様連続なポテンシャル）✓定理 4.2・Feller 過程と Feynman–Kac

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